Spesso è necessario limitare in frequenza il funzionamento di un amplificatore, ad esempio per evitare di amplificare i disturbi in alta frequenza (fruscii) o in bassa frequenza (deriva termica, offset). Questo capitolo affronta il problema della risposta in frequenza degli amplificatori, con particolare riferimento ai filtri attivi passa-alto, passa-basso e passa-banda, considerando dapprima l'amplificatore operazionale ideale (stesso comportamento ad ogni frequenza) e poi quello reale (limitato in frequenza).

Il circuito di figura 1 è un amplificatore invertente con un condensatore in serie a R_s. A causa del condensatore il guadagno V_o/V_s non è più costante a tutte le frequenze e il legame tra ingresso e uscita va espresso con la funzione di trasferimento:

`G(s)=(V_o(s) )/( V_s(s) )=-( Z_(f) (s))/(Z_s(s))=-R_f/(R_s+X_s(s))=-(sR_(f) C)/(1+sR_s C)`

Osservando la fdt notiamo che:

• è presente uno zero nell'origine e un polo come nel filtro passa alto (anche se le due τ sono diverse) ma
• il comportamento è invertente
• il guadagno a frequenze elevate non vale 1 ma -R_f/R_s come nell'amplificatore invertente

Il diagramma di Bode di figura 2 conferma quanto detto¹⁾ e mette in evidenza la frequenza di taglio dove l'attenuazione rispetto al valore massimo vale -3dB:

`f_t=1/(2 pi R_s C_s)`

Il circuito appena visto è un filtro attivo passa-alto del primo ordine e rispetto al filtro passivo:

• può amplificare il segnale
• ha un comportamento che non dipende dal carico

Entrambi i vantaggi derivano dall'uso dell'amplificatore operazionale come componente attivo.

La figura 3 mostra come realizzare un filtro attivo passa-alto con configurazione non invertente collegando in cascata filtro e amplificatore. La fdt del circuito vale:

`G(s)=(V_o(s) )/( V_s(s) )=(sRC)/(1+sRC) cdot (R_1+R_2)/(R_1)`

• esempio 1 (progetto di un filtro attivo)
• problema svolto 2 (metodo per il dimensionamento di due condensatori di accoppiamento)

Per fissare una frequenza di taglio superiore e realizzare un filtro attivo passa-basso invertente si può ricorrere al circuito di figura 4. La sua fdt è:

`G(s)=(V_o (s))/(V_s (s))=-(Z_(f)(s))/(Z_s(s))=-R_f/R_s cdot 1/(1+sR_(f)C_(f))`

che coincide con quella di un filtro RC passa basso moltiplicato per il guadagno -R_f/R_s dell'amplificatore invertente. La figura 5 riporta il diagramma di Bode del modulo della fdt; anche in questo caso il comportamento invertente fa sì che il diagramma della fase coincida con quello del filtro passivo corrispondente a meno di 180°. La frequenza di taglio, a cui corrisponde un'attenuazione di 3dB rispetto al valore massimo |R_f/R_s|_dB, vale:

`f_t=1/(2 pi R_(f)C_(f))`

Il condensatore inserito nel circuito fissa un limite superiore in frequenza per l'amplificatore realizzando un filtro attivo RC passa-basso del primo ordine. Combinando questo circuito con quello di figura 1 si può imporre un limite superiore e inferiore di frequenza realizzando un filtro attivo RC passa-banda (figura 6). Le frequenze di taglio superiore e inferiore si possono calcolare con:

`f_(tL)=1/(2 pi R_(s)C_(s)) quad , quad f_(tH)=1/(2 pi R_(f)C_(f))`

ma solo nell'ipotesi che tra loro vi sia almeno una decade ²⁾. La fdt vale:

`G(s)=(V_o (s))/(V_s (s))=-(sR_(f)C_s)/(\(1+sR_(f)C_(f))(1+sR_sC_s))`

e il corrispondente diagramma di Bode avrà la tipica forma trapeziodale del filtro passa-banda dovuta alla presenza di uno zero seguito da due poli³⁾.

Nell'amplificatore non invertente si può fissare un limite di frequenza superiore con un filtro RC passivo in ingresso, come già visto. In alternativa si può ricorrere al circuito di figura 7a che ha un comportamento leggermente diverso perché alle alte frequenze, il guadagno tende a 1 invece che a -∞⁴⁾ come si vede dal diagramma di Bode di figura 7b. In quest'ultimo caso la frequenza di taglio può essere approssimata con:

`f_t=1/(2 pi R_2 C_2)`

Nei circuiti RC - che sono i più comuni - conviene determinare la banda passante studiando tre circuiti equivalenti:

• il circuito in centro banda, privo di condensatori, permette di calcolare il guadagno in centro banda
• il circuito in bassa frequenza, dove sono presenti solo i condensatori più grandi - quelli più piccoli si comportano da circuiti aperti⁵⁾ - permette di calcolare la frequenza di taglio inferiore
• il circuito in alta frequenza, dove sono presenti solo i condensatori più piccoli - quelli grandi si comportano da cortocircuiti - permette di calcolare la frequenza di taglio superiore

Per il calcolo delle frequenze di taglio, nell'ipotesi che i condensatori non interagiscano tra loro, si usa un metodo approssimato: si valutano le costanti di tempo associate ai vari condensatori⁶⁾ e la frequenza di taglio corrispondente ad ognuno poi, con una formula, si ricava la frequenza di taglio dell'intero circuito. In fase di progetto conviene invece rendere trascurabile l'effetto di tutti i condensatori tranne uno alla frequenza di taglio, ad esempio:

• per fissare la frequenza di taglio inferiore conviene mantenere la capacità più grande moltiplicare le altre per 10
• per fissare la frequenza di taglio superiore conviene mantenere la capacità più piccola e dividere le altre per 10

In questo modo un solo condensatore è responsabile della frequenza di taglio e il polo corrispondente viene detto polo dominante.

• esempio 2 (progetto di un filtro passa-banda) e 3 (passa-banda e mixer audio)
• scheda integrativa 15B.1 (banda passante in un amplificatore generico, circuiti equivalenti in centro banda, bassa e alta frequenza)
• scheda di laboratorio 15B.1 (misura della risposta in frequenza di un amplificatore)
• problemi svolti 1 e 2 (passa banda), 3 (effetto di un condensatore trascurabile), 5 e 6 (fdt e Bode)
• problemi da svolgere 14 (fdt), 15 (Bode), 16 (passa-banda)

La figura 9a mostra la risposta in frequenza di un operazionale ad anello aperto; come si vede il guadagno diminuisce già a frequenze molto basse e la banda passante è di appena 5 Hertz laddove per l'operazionale ideale si ipotizzava una banda passante infinita. Questa limitazione - a prima vista un difetto - è introdotta artificialmente per evitare instabilità causate dai disturbi in alta frequenza. Osservando l'andamento della risposta in frequenza si nota che:

• la pendenza è di -20dB per decade; questo è dovuto alla presenza di un filtro RC del primo ordine interno all'integrato⁷⁾ che introduce un polo dominante⁸⁾
• il prodotto di guadagno e frequenza è costante per tutti i punti del tratto in pendenza (per ogni decade il guadagno scende di 20dB, cioè diventa dieci volte più piccolo) ed è chiamato prodotto guadagno banda o GBW
• il GBW coincide con la frequenza a 0dB (1 MHz nel caso del 741)

Il GBW è un parametro caratteristico degli operazionali reali e costituisce un limite in frequenza nelle applicazioni degli OP-AMP; ad anello chiuso infatti il guadagno sarà sempre minore di quello ad anello aperto e la banda passante sarà determinata di conseguenza, come mostrato in figura 9b.

Quando si progetta un amplificatore occorre quindi considerare che anche senza impiegare condensatori esterni è sempre presente un limite in frequenza imposto dal GBW e che, dal momento che l'andamento della risposta in frequenza è asintotico e l'errore massimo (-3dB) si commette proprio in corrispondenza della frequenza massima, la banda passante reale sarà minore di quella individuata.

Per ottenere una banda passante elevata conviene:

• operare con un guadagno ad anello chiuso non elevato
• impiegare un OP-AMP con GBW più elevato (come il 355)
• realizzare l'amplificatore con più stati in cascata a basso guadagno (tenendo conto però che la banda passante complessiva è minore di quella del singolo stadio)

La banda passante è limitata anche da un altro parametro, lo slew rate, che corrisponde alla massima velocità con cui può variare il segnale di uscita:

`SR=(dv_o)/dt|_max`

La limitazione imposta dallo SR si fa sentire nei segnali di ampiezza elevata (dv elevato) e frequenza elevata (dt ridotto) e comporta una deformazione del segnale di uscita (figura 10). In questi casi occorre valutare quale parametro, tra GBW e SR, determinerà la banda passante, tenendo presente che l'effetto dello slew rate dipende dalla forma d'onda del segnale (ad esempio dv/dt è costante per un segnale triangolare e variabile, con un massimo in corrispondenza del passaggio per lo zero, per uno sinusoidale).

• esempio 4 (calcolo banda passante in base al GBW), esempio 5 e 6 (calcolo banda passante in base a GBW e SR)
• problemi svolti 8 (banda passante da GBW e SR) e 11 (progetto amplificatore audio)
• schede di laboratorio 2 (misura GBW) e 3 (misura SR con segnale sinusoidale, triangolare e quadro) in simulazione

In figura 11a è rappresentato un derivatore ideale attivo così chiamato perché la tensione in uscita è proporzionale alla derivata di quella in ingresso. Infatti, analizzando il circuito nel dominio del tempo, si ricava:

`v_o=-R_(f)C(dv_s)/(dt)`

Questo circuito non può essere utilizzato perché la sua fdt è:

`G(s)=-sR_(f)C`

che non è fisicamente realizzabile⁹⁾ e nemmeno desiderabile perché, come si vede nel diagramma di Bode di figura 11b, alle alte frequenze il guadagno sarebbe infinito e i disturbi renderebbero il circuito inutilizzabile. Nella pratica si utilizza come circuito derivatore il filtro attivo passa-alto, che si differenzia solo per la presenza della resistenza R_s. In questo caso:

• alle basse frequenze il comportamento coincide con quello del derivatore ideale
• alle alte frequenze il guadagno è costante e il comportamento è da amplificatore in centro banda

Il figura 13a è rappresentato un integratore ideale attivo così chiamato perché la tensione in uscita è proporzionale all'integrale di quella in ingresso. Infatti, analizzando il circuito nel dominio del tempo, si ricava:

`v_o=-1/(R_s C_f)int_0^tv_s dt +K`

dove K è la tensione ai capi del condensatore per t=0. Anche questo circuito non è utilizzabile perché la sua fdt è:

`G(s)=-1/(sR_s C_(f))`

a cui corrisponde il diagramma di Bode di figura 13b con guadagno infinito alle basse frequenze dove i disturbi in continua renderebbero inutilizzabile il circuito. Nella pratica si utilizza come circuito integratore il filtro attivo passa-basso, che si differenzia solo per la presenza della resistenza R_f. In questo caso:

• alle basse frequenze il guadagno è costante e il comportamento è da amplificatore in centro banda
• alle alte frequenze il comportamento coincide con quello dell'integratore ideale

• esempio 7 (circuito derivatore e segnale triangolare) e 8 (circuito integratore e onda quadra)

La distorsione lineare è dovuta agli elementi reattivi presenti nel circuito e produce una deformazione del segnale di uscita rispetto a quello di ingresso e si presenta come:

• distorsione di frequenza: le armoniche che compongono il segnale sono amplificate in maniera diversa in base al modulo della risposta in frequenza del circuito
• distorsione di fase: le armoniche subiscono sfasamenti diversi in base alla fase della risposta in frequenza del circuito

La distorsione non lineare è dovuta alle non-linearità dei componenti attivi presenti nel circuito e si manifesta con armoniche indesiderate che si aggiungono al segnale (ad esempio con la presenza di più armoniche in uscita con un segnale sinusoidale in ingresso). Si definisce distorsione d'armonica il rapporto tra il valore efficace di un'armonica e quello della fondamentale:

`D_n % = V_n/V_1 100`

La distorsione armonica totale è invece il rapporto tra il valore efficace di tutte le armoniche tranne la fondamentale e quello della fondamentale.

Con segnali non sinusoidali può manifestarsi anche una distorsione da intermodulazione dove, oltre ad armoniche multiple della frequenza del segnale compaiono altre armoniche (somma e differenza di multipli delle armoniche del segnale in ingresso).

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