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Prerequisiti

Rivediamo rapidamente gli argomenti più importanti, ai fini della comprensione del programma di quarta, trattati nel corso di Elettronica ed Elettrotecnica di terza.

Grandezze fondamentali

Carica

La carica elettrica è una proprietà della materia, il suo simbolo è Q e la sua unità di misura è il Coulomb (simbolo C).

Normalmente un corpo non possiede carica perché gli atomi di cui è composto presentano lo stesso numero di protoni e di elettroni, ma può diventare carico acquistando o cedendo elettroni. Un corpo ha carica:

  • positiva, quando il numero di elettroni è minore di quello dei protoni
  • negativa, quando il numero di elettroni è maggiore di quello dei protoni

Corrente

Il fenomeno della corrente elettrica consiste nel moto ordinato di elettroni in un conduttore. Per quantificarlo utilizziamo la grandezza intensità di corrente elettrica (che chiameremo semplicemente corrente). La corrente ha simbolo I e la sua unità di misura è l'Ampère (A) e per definizione è la carica che nell'unità di tempo attraversa la sezione di un conduttore. Questa stessa definizione può essere espressa con la formula:

`I=Q/t [A]`

In un conduttore può circolare corrente solo se:

  • fa parte di un percorso chiuso che permetta alle cariche di circolare (cioè tornare al punto di partenza)
  • viene fornita energia alle cariche per mettersi in movimento (in genere con un generatore di tensione)

Per convenzione la corrente ha un verso opposto a quello in cui si muovono gli elettroni.

Distinguiamo tra circuiti:

  • in corrente continua (CC o DC), dove il valore della corrente è costante nel tempo
  • in corrente alternata (CA o AC), dove il valore della corrente cambia istante per istante con legge sinusoidale

Tensione

Per mettere in movimento delle cariche - e quindi far circolare corrente in un circuito - è necessaria dell'energia. La tensione (o differenza di potenziale) tra due punti è l'energia che occorre spendere per spostare la carica di un Coulomb dal primo al secondo punto. Il simbolo della tensione è V e la sua unità di misura è il Volt (V). La definizione di tensione può essere espressa con la formula:

`V_(AB) = W/Q [V]`

Dove VAB rappresenta la tensione tra il punto A e il punto B del circuito, W l'energia e Q la carica.

Osserviamo che:

  • la tensione non scorre in un circuito ma è una grandezza definita tra due punti
  • tra due punti ci può essere tensione anche senza corrente
  • la tensione ha un verso e l'ordine delle lettere è importante: la prima indica il punto positivo, la seconda quello negativo; negli schemi la tensione è rappresentata dal suo simbolo e da una freccia che punta verso il punto positivo

Potenza

In generale la potenza è l'energia trasformata nell'unità di tempo. Il suo simbolo è P e la sua unità di misura il Watt (simbolo W). Con una formula:

`P=W/t [W]`

Osserviamo che:

  • la potenza può essere interpretata anche come velocità con cui viene spesa (o consumata) dell'energia
  • dal momento che l'energia può essere trasformata in lavoro nelle definizioni sopra si può sostituire l'energia con il lavoro

Nei circuiti in continua la potenza può essere espressa come prodotto di tensione e corrente:

`P=V cdot I [W]`

Nei circuiti in alternata si distingue tra potenza attiva, reattiva ed apparente, dove solo la prima segue la definizione generale e vale:

`P=VI cos varphi [W]`

dove V e I sono i valori efficaci di tensione e corrente e φ lo sfasamento tra le due grandezze. La potenza reattiva è l'energia che viene accumulata e restituita al secondo dalle reattanze (condensatori e induttori) e si calcola così:

`Q=VI text(sen) varphi [VAR]`

Osserviamo che:

  • non si tratta di “vera potenza”, infatti il simbolo non è P e l'unità di misura è il Volt-Ampère-Reattivo
  • la potenza reattiva può essere sia positiva che negativa

Infine la potenza apparente è:

`S = V I [VA]`

e si misura in Volt-Ampère. Non ha nessun significato particolare ed è legata alle altre due potenze dalla relazione:

`S=sqrt(P^2+Q^2)`

Definizioni fondamentali sui circuiti

Nello studio dei circuiti è fondamentale conoscere le seguenti definizioni:

  • punto elettrico: insieme di punti collegati con un cortocircuito (cioè equipotenziali, collegati da una linea e non separati da un componente)
  • nodo: punto elettrico che collega almeno tre componenti
  • ramo: percorso del circuito che collega due nodi (senza passare per altri nodi)
  • maglia: percorso chiuso che fa parte di un circuito

Osservazioni:

  • i punti elettrici sono indicati da delle lettere maiuscole e servono a individuare i morsetti dei vari componenti e a dare un nome alle varie tensioni presenti in un circuito
  • nei nodi si dirama la corrente
  • ogni ramo ha una sua corrente quindi in un circuito ci sono tante correnti quanti sono i rami

Componenti attivi

I componenti attivi sono i generatori e i componenti ad essi assimilabili.

Un generatore è un componente che immette energia nel circuito. NB: un generatore può anche assorbire energia (ad es. la batteria di un cellulare mentre viene ricaricata).

E' facile stabilire se un componente assorbe od eroga energia osservando i versi di tensione e corrente:

  • se la corrente esce dal morsetto positivo il componente eroga energia
  • se la corrente entra dal morsetto positivo il componente assorbe energia

Idealmente esistono due tipi di generatori:

  • il generatore di tensione, che mantiene una tensione costante ai suoi capi
  • il generatore di corrente, che stabilisce un valore di corrente costante nel ramo in cui è posto

Nella pratica i generatori reali sono rappresentati da un generatore ideale con una resistenza interna collegata:

  • in serie, nel generatore di tensione
  • in parallelo, in quello di corrente

La conseguenza è che i generatori sono rappresentati da due parametri (tensione e resistenza o corrente e resistenza) e che:

  • nel generatore di tensione la tensione cala all'aumentare della corrente
  • nel generatore di corrente la corrente cala all'aumentare della tensione

I generatori possono essere in continua o in alternata. In un circuito con solo generatori in continua tutte le grandezze saranno continue, cioè costanti nel tempo; in un circuito con tutti generatori in alternata (con la stessa frequenza) avremo grandezze alternate.

Componenti passivi

I componenti passivi non generano energia elettrica ma possono accumularla e resitituirla. I componenti passivi fondamentali sono:

  • il conduttore, caratterizzato dal parametro resistenza
  • il condensatore, caratterizzato dal parametro capacità
  • l'induttore, caratterizzato dal parametro induttanza

Conduttore e resistenza

Un conduttore è un componente che può essere attraversato da corrente. Sono conduttori un cavo isolato con l'anima in rame, un resistore (cioè un componente che ha resistenza nota), le piste dei circuiti stampati, ecc.

I conduttori non sono in grado di accumulare energia; l'energia che assorbono quando sono attraversati da corrente è dissipata in calore (effetto Joule).

La resistenza di un conduttore è un parametro costante che quantifica quanto il conduttore si oppone al passaggio di corrente. Il simbolo della resistenza è R e la sua unità di misura è l'Ohm (simbolo Ω). La resistenza di un conduttore è definita come il rapporto tra la tensione applicata a un conduttore e la corrente che lo attraversa. Con una formula:

`R=V/I [Ω]`

La formula sopra è nota come legge di Ohm, spesso viene scritta così:

`V=R*I`

e afferma che in un conduttore di resistenza R la tensione e la corrente sono proporzionali (R infatti è costante).

Un caso particolare di conduttore è il cortocircuito, un conduttore con resistenza nulla (o trascurabile) la cui tensione è sempre zero (i suoi morsetti si dicono equipotenziali).

Condensatore

Il condensatore è un componente costituito da due superfici di materiale conduttore (armature) separate da un isolante che è in grado di accumulare carica. La carica accumulata dipende dalla tensione applicata e dalla capacità del condensatore, un parametro costante che esprime la carica accumulata per ogni Volt applicato come nella seguente formula:

`C=Q/V [F]`

dove C è la capacità misurata in Farad (simbolo F).

Durante la carica si ha un accumulo di energia elettrica nel campo elettrico presente all'interno del condensatore; durante la scarica questa energia viene restituita al circuito e il condensatore eroga energia.

Nel condensatore la tensione e la corrente sono legate dalla legge di Ohm:

`i=C cdot (dv)/(dt)`

che dice che la corrente dipende dalla derivata nel tempo della tensione, cioè dalla velocità con cui cambia la tensione nel tempo. Dalla stessa legge si può dedurre il cosiddetto principio di continuità del condensatore, che afferma che in un condensatore la tensione non può variare a gradino (cioè non può “saltare” da un valore a un altro in zero secondi) e, più in generale, che il condensatore ostacola le variazioni di tensione.

Applicando un gradino di tensione a un condensatore si ha un transitorio di carica (o scarica) dove le grandezze tensione, carica e corrente variano seguendo una legge esponenziale decrescente. In un primo tempo le grandezze cambiano rapidamente per poi stabilizzarsi su un valore in un tempo pari a circa cinque volte la costante di tempo τ così calcolata:

`tau = RC [s]`

dove R è una resistenza in serie al condensatore (un resistore, la resistenza interna di un generatore, la resistenza equivalente del resto del circuito semplificato con Thevenin o semplicemente quella dei cavi). Osservando l'andamento di tensione e corrente si può notare come il condensatore si comporti:

  • come un cortocircuito, all'inizio del transitorio
  • come un interruttore aperto, a fine transitorio

Per la tensione vale:

`v(t)=V_f - (V_f - V_i) cdot e^(-t/tau)`

dove Vf è il valore finale e Vi quello iniziale.

Induttore

Un induttore è un conduttore avvolto a bobina in grando di generare campo magnetico quando percorso da corrente. Se la corrente cambia nel tempo si manifesta il fenomeno dell'autoinduzione: la variazione di corrente produce una variazione di flusso concatenato col circuito che, per la legge di Faraday, genera una tensione indotta ai capi dell'induttore. Il parametro più importante di questo componente è l'induttanza (o coefficiente di autoinduzione), definita come il rapporto tra il flusso concatenato e la corrente che lo ha prodotto:

`L=Phi_c/i [H]`

Dove Φc è il flusso concatenato e L l'induttanza misurata in Henry (simbolo H).

Quando la corrente che lo attraversa cambia nel tempo l'induttore accumula energia nel campo magnetico presente al suo interno; successivamente questa energia può essere restituita al circuito (come il condensatore l'induttore assorbe ed eroga energia).

Nell'induttore la tensione e la corrente sono legate dalla legge di Ohm:

`v=L cdot (di)/(dt)`

che dice che la tensione indotta dipende dalla derivata nel tempo della corrente, cioè dalla velocità con cui cambia la corrente nel tempo. Dalla stessa legge si può dedurre che in un induttore la corrente non può variare a gradino (cioè non può “saltare” da un valore a un altro in zero secondi) e, più in generale, che l'induttore ostacola le variazioni di corrente.

Anche l'induttore è caratterizzato da transitori dove le grandezze cambiano con legge esponenziale decrescente la cui costante di tempo vale:

`tau = L/R [s]`

dove R è una resistenza in serie all'induttore. Si può osservare come l'induttore si comporti:

  • come un generatore di corrente, all'inizio del transitorio
  • come un cortocircuito, a fine transitorio

NB dovrebbe essere evidente la dualità tra condensatore e induttore, che presentano comportamenti simili pur in presenza di fenomeni di natura diversa, a patto di scambiare tra loro corrente e tensione. In particolare entrambi i componenti non consumano energia elettrica ma la accumulano e restituiscono. La potenza reattiva tiene conto proprio di questa energia scambiata col resto della rete (nell'unità di tempo).

Leggi fondamentali

Tensione tra due punti di un circuito

La tensione tra due punti di un circuito può essere calcolata sommando algebricamente le tensioni lungo un qualunque percorso che collega i due punti (segno meno se si incontra prima il morsetto negativo)

Principi di Kirchhoff

Il primo principio di Kirchhoff afferma che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma di quelle uscenti.

Il secondo principio di Kirchhoff afferma che la somma algebrica delle tensioni in una maglia è zero

Partitori di tensione e corrente

In un partitore di tensione, cioè una serie di resistenze, la tensione si suddivide sulle varie resistenze secondo la legge:

`V_(R_n) =R_n/(sum R) cdot V_text(totale)`

In un partitore di corrente, cioè due resistenze in parallelo, la corrente si suddivide secondo la legge:

`I_(R_1)=R_2/(R_1+R_2) cdot I`

Resistenza equivalente

Un gruppo di resistenze può essere sostituito da un unica resistenza equivalente calcolata, per semplificazioni successive, individuando:

  • resistenze in serie, cioè attraversate dalla stessa corrente, dove `R_(eq)=R_1+R_2+R_3+…`
  • resistenze in parallelo, cioè sottoposte alla stessa tensione, dove `R_(eq)=(R_1R_2)/(R_1+R_2)` o, con più di due resistenze, `R_(eq)=1/(1/R_1+1/R_2+1/R_3+…)`

Teoremi e metodi

Metodo della resistenza equivalente

E' il metodo più semplice per risolvere un circuito con un solo generatore e consiste nel semplificare tutte le resistenze fino ad arrivare ad un circuito con un solo generatore e una sola resistenza equivalente. Calcolata la prima corrente si trovano le altre applicando le leggi fondamentali viste sopra.

Metodo della sovrapposizione degli effetti

Quando in un circuito sono presenti più generatori è possibile calcolare le varie correnti risolvendo tanti circuiti con un solo generatore alla volta e sommando algebricamente le correnti ottenute. I generatori da scartare sono:

  • sostituiti con un cortocircuito, se di tensione
  • eliminati insieme al ramo di cui fanno parte, se di corrente

Teorema di Millman

In un circuito con due soli nodi la tensione tra questi può essere calcolata in questo modo:

`V=(+-E_n/R_n +-I_n)/(sum 1/R_n)`

dove al numeratore si considerano tutti i rami con generatori di tensione e corrente e si attribuisce il segno in base al loro verso e Rn è la somma delle resistenze di ogni ramo privo di generatori di corrente.

Una volta applicata la formula è facile trovare tutte le correnti del circuito.

Teorema di Thevenin

Una parte di circuito delimitata da due punti può essere semplificata e sostituita da un generatore equivalente dove:

  • la resistenza interna del generatore Rth si ottiene calcolando la resistenza equivalente tra i due punti una volta eliminati i generatori come nella sovrapposizione degli effetti
  • la tensione a vuoto Eth si ottiene calcolando la tensione tra i due punti della parte di circuito da semplificare separata dal resto del circuito

Una volta semplificato il circuito è facile trovare una corrente e risalire alle altre applicando le leggi fondamentali viste sopra.

Il regime sinusoidale

Nei circuiti in alternata tensioni e correnti sono sinusoidi con la stessa frequenza. Per studiare questi circuiti è necessario:

  • conoscere le sinusoidi
  • applicare il metodo simbolico
  • conoscere il concetto di impedenza

In particolare, sostituendo ai componenti passivi delle impedenze e svolgendo i calcoli con il metodo simbolico è possibile utilizzare tutte le leggi e i metodi validi per la continua.

Sinusoide

Una tensione sinusoidale cambia nel tempo con la legge:

`v(t)=V_max sen(omega t + varphi)`

Dove:

  • Vmax è il valore massimo, legato al valore efficace (valore equivalente in continua) dalla formula `V = V_max/sqrt(2)`
  • ω è la pulsazione, legata alla frequenza f dalla relazione `omega=2 pi f`
  • φ è la fase, legata al ritardo o anticipo rispetto alla sinusoide che passa per l'origine dalla relazione `t_text(r/a)= phi/omega`

Metodo simbolico

Lo studio dei circuiti in alternata è agevolato se si rappresenta ogni corrente e ogni tensione con un vettore di ampiezza pari al valore efficace e angolo pari alla fase (la frequenza non è interessante perché uguale per tutte le grandezze). A sua volta i vettori possono essere rappresentati con dei numeri complessi:

`v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + varphi) to bar V = V _varphi = V cos varphi + j V sen varphi`

La trasformazione delle sinusoidi in vettori o numeri complessi - grandezze costanti caratterizzate da due soli valori - facilita molto i calcoli. Alla fine del procedimento si esegue una anti-trasformazione per ritornare alle sinusoidi:

`bar V = a+jb to {(V = sqrt (a^2+b^2)),(varphi=text(arctg) b/a +- 180°):} to bar V = V _varphi to v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + varphi)`

Impedenza

E' possibile accorpare i tre componenti passivi R, L e C in un unico termine detto impedenza, così definito:

`bar Z=R+j(omega L - 1/(omega C))=R+jX=Z_varphi [Omega]`

dove Z è l'impedenza, misurata in Ohm, espressa come numero complesso o come vettore. Il termine X è la reattanza totale somma della reattanza induttiva:

`bar X_L =j omega L = jX_L= X_(L_90°)[Omega]`

e di quella capacitiva:

`bar X_C =-j 1/(omega C) = -jX_C= X_(C_-90°)[Omega]`

Al posto di tre componenti e tre leggi di Ohm si utilizzerà un unico componente, l'impedenza, e una sola legge di Ohm:

`bar V= bar Z cdot bar I`

Si osserva che:

  • l'angolo φ è compreso tra -90° e 90° e coincide con lo sfasamento tra tensione e corrente
  • condensatori e induttori si comportano diversamente alle varie frequenze perché le rispettive reattanze dipendono da ω

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prerequisiti.txt · Ultima modifica: 2018/04/17 12:03 da admin