21B - Conversione D/A

I segnali analogici possono assumere un numero infinito e continuo di valori, quelli digitali un numero finito e prefissato di valori. Le grandezze fisiche del mondo che ci circonda sono tipicamente analogiche, così come lo sono i segnali che le rappresentano (ad esempio la tensione generata da un microfono) ma la loro trasmissione, elaborazione e memorizzazione oggi è affidata quasi esclusivamente a dispositivi digitali, dove le informazioni sono codificate con una sequenza di bit. Questa soluzione, apparentemente più complicata, permette di realizzare sistemi efficienti, flessibili ed immuni a disturbi, ma richiede una conversione analogico/digitale e digitale/analogica per collegare tra loro sistemi digitali e sistemi analogici.

Nella conversione in digitale si ha sempre una perdita di informazione: gli infiniti valori che può assumere una grandezza analogica devono essere rappresentati con un numero finito di bit. Questo vuol dire che ad ogni sequenza di bit corrisponderà un intervallo di valori e si determinerà un'incertezza rispetto al valore analogico - l'errore di quantizzazione - che dipende dal numero di bit utilizzati nella codifica.

Supponiamo che una sequenza di n bit codifichi il numero intero naturale D. Il codice binario¹⁾:

`b_(n-1)b_(n-2) … b_1 b_0`

corrisponde al numero intero:

`D=b_0 2^0+b_1 2^1+b_2 2^2+ … + b_(n-1) 2^(n-1)= sum_(i=0)^(n-1) b_i 2^i`

Il convertitore digitale/analogico (DAC) traduce il codice binario in una tensione analogica proporzionale al numero D che può essere espressa così:

`V_o = Q cdot D = Q sum_(i=0)^(n-1) b_i 2^i`

La costante Q che compare nell'espressione precedente è detta quanto della conversione e il suo valore è legato alla risoluzione del convertitore perché coincide con la minima variazione dell'uscita o col valore corrispondente al bit meno significativo (LSB).

Esistono varie soluzioni circuitali per realizzare un convertitore D/A. In genere si sfrutta una rete resistiva per generare tante correnti quanti sono i bit di valore proporzionale alle potenze del due; sommando le correnti il cui bit vale 1 e usando un convertitore I/V si ottiene la tensione analogica desiderata. La figura 2 mostra lo schema di principio di un convertitore di questo tipo.

Spesso nei datasheet dei convertitori D/A la risoluzione non è indicata con il quanto di conversione ma con il numero di bit n del DAC e dalla tensione tensione di fondo scala V_FS²⁾. Il quanto è comunque calcolabile come:

`Q=V_(FS)/2^n`

La tensione di fondo scala V_FS è suddivisa in 2ⁿ intervalli larghi Q e la tensione V_o in uscita può assumere 2ⁿ valori compresi tra 0 e V_FS - Q. Per chiarire questi concetti esaminiamo la figura 3 che mostra la caratteristica di trasferimento di un DAC a 3 bit: nelle ascisse è presente il dato digitale - un codice di tre bit associato ad un numero intero D - e in quella delle ordinate la tensione in unscita V_o, che può assumer 2³ valori multipli del quanto Q compresi tra 0 e V_FS - Q³⁾.

In alcuni DAC la tensione di fondo scala può essere variata attraverso un pin indicato come V_REF. Questi DAC vengono chiamati moltiplicatori perché, fattore 2^-n a parte, forniscono in uscita una tensione pari al prodotto tra la tensione V_REF e il dato numerico digitale D:

`V_o=V_(REF)/2^n D`

Se la tensione V_REF può assumere anche valori negativi si parla di DAC a due quadranti⁴⁾. Questi ultimi possono essere usati anche come attenuatori digitali: se consideriamo la tensione V_REF come il segnale da attenuare e il valore digitale come fattore di attenuazione, la tensione in uscita potrà variare tra zero e V_REF - Q (con un guadagno compreso tra 0 e 1 - 2^-n ). Questa applicazione da “potenziometro digitale” è piuttosto diffusa, ad esempio per controllare il volume negli hi-fi.

Per interfacciarsi al bus di un sistema a microprocessore un DAC è necessario un registro parallelo che mantenga costante l'uscita fino al ciclo macchina successivo. Il registro a latch può essere direttamente integrato nel convertitore.

Esamineremo due soluzioni:

• i DAC a resistenze pesate sono i più semplici ma i meno utilizzati, perché presentano una serie problemi tecnologici che ne sconsigliano l'uso
• i DAC a scala R-2R (o ladder) che, specie nella configurazione a scala invertita, costituiscono la quasi totalità dei convertitori commerciali

Il circuito di figura 7 mostra lo schema di principio di un DAC a resistori pesati a 4 bit. Si tratta di un semplice circuito sommatore invertente dove:

• le quattro tensioni in ingresso corrispondono ai quattro bit con cui è codificata l'informazione e possono assumere solo due livelli (ad esempio 0 e 5 Volt che corrispondono ai livelli logici 0 e 1)⁵⁾
• le quattro resistenze di ingresso sono in rapporto 1:2:4:8 rispetto a quella corrispondente al bit più significativo (il nome del DAC deriva proprio dal fatto che le resistenze sono pesate con le potenze del due)

Con questa configurazione la tensione V₀ in uscita vale:

`V_0 = -R_(f) (V_0/R_0 + V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_3/R_3)=-R_(f)/R (V_0/8 + V_1/4 + V_2/2 + V_3/1)`

Se esprimiamo le tensioni in ingresso come prodotto tra il valore logico Q_i⁶⁾ associato al bit e la tensione V_H corrispondente al livello alto:

`V_i=Q_i cdot V_H`

la tensione in uscita si può esprimere come:

`V_0 = -(R_(f)V_H)/R(Q_0/8 + Q_1/4 + Q_2/2 + Q_3/1)=-(R_(f)V_H)/(8R) (8Q_3 + 4Q_2 + 2Q_1 + Q_0)`

Allora, a meno di una costante, la V₀ coincide col numero codificato in binario come Q₃Q₂Q₁Q₀. Il circuito converte una sequenza di 4 bit in un segnale analogico e si comporta come un convertitore con:

• quanto `Q=-(R_(f)V_H)/(8R)`
• tensione di fondo scala⁷⁾ `V_(FS)= 2^4 cdot Q`

Il circuito di figura 5 è un esempio applicativo di un DAC a 4 bit dove il valore digitale da convertire è fornito da un contatore binario che, con un opportuno clock, genera ciclicamente valori da 0000 a 1111.

I convertitori D/A a resistenze pesate sono molto semplici ma presentano degli inconvenienti tecnologici che ne rendono poco pratico l'utilizzo:

• i livelli delle tensioni in ingresso devo essere stabili e precisi (in figura 8 una possibile soluzione del problema che sfrutta delle porte logiche per collegare un'unica tensione di riferimento stabilizzata)
• i valori delle resistenze devono essere molto precisi e avere tutte la stessa tolleranza in valore assoluto (ad esempio 1 Ohm di tolleranza sia sul resistore da 10 Ω che su quello da 1 kΩ)
• al crescere della risoluzione, cioè del numero di bit con cui è codificata l'informazione, aumenta il numero e il range di valori di resistenza necessari; questo comporta una serie di problemi difficili da evitare: difficoltà di integrazione, tolleranze diverse tra i vari resistori, valori molto piccoli comparabili con quelli dei contatti, valori molto grandi comparabili con le resistenze di perdita e controindicati per gli operazionali

Lo schema di principio di un convertitore a scala R-2R è mostrato in figura 9a. Come si vede si tratta di una rete che impiega due soli valori di resistenza, disposti secondo uno schema simmetrico. Questa soluzione non pone particolari problemi di ordine tecnologico perché permette di realizzare ed integrare un gran numero di resistenze mantenendo una buona precisione. Il circuito è meno problematico del precedente e permette facilmente di ottenere elevate risoluzioni.

Il principio di funzionamento è quello già esposto nel paragrafo 4: la combinazione di valori logici in ingresso, pilotando gli interruttori che collegano la tensione di riferimento V_R, determina una corrente sul carico che è la somma di tante correnti proporzionali alle potenze del due, convertita successivamente in tensione. Semplificando la rete con Thevenin⁸⁾ si ottiene il circuito di figura 9b. La tensione del generatore di Thevenin vale:

`V_T= V_R/2^n sum_(i=0)^(n-1)b_i 2^i`

ed è proporzionale al dato digitale D. In genere la rete R-2R è collegata ad un amplificatore invertente. In questo caso conviene usare una tensione di riferimento negativa -V_R in modo che la tensione in uscita valga:

`V_o= R_f/R V_R/2^n sum_(i=0)^(n-1)b_i 2^i`

Questa espressione corrisponde a quella teorica vista nel paragrafo 3, ma con quanto di conversione che vale:

`Q= R_f/R V_R/2^n `

• scheda di laboratorio 21B.1 (analisi sperimentale di un DAC a resistori pesati)
• scheda di laboratorio 21B.2 (analisi sperimentale di un DAC con rete a scala R-2R)
• problemi svolti: 2 (progetto di un DAC R-2R a 4 bit)

Il testo propone l'esame di due DAC integrati con caratteristiche diverse.

L'integrato 0808 è un DAC parallelo a 8 bit con rete R-2R invertita e uscita in corrente. E' un integrato semplice perché:

• la risoluzione non è elevata
• non è presente stadio amplificatore in uscita
• non è presente un latch in ingresso

tuttavia ha una banda passante elevata (può essere utilizzato in campo audio) e funziona a due o quattro quadranti.

L'integrato AD7845 è un DAC parallelo a 12 bit a rete R-2R invertita e uscita in tensione. E' un DAC più sofisticato del precedente perché:

• ha una risoluzione maggiore
• integra uno stadio amplificatore in uscita usato come convertitore I/V
• integra un latch a 12 bit per l'interfacciamento con sistemi a microprocessore
• la banda passante è elevata (può essere utilizzato in campo audio)
• funziona a due o quattro quadranti

Nel funzionamento a due quadranti (vedi figura 15) il DAC si comporta come il circuito equivalente di figura 14 e la tensione in uscita vale:

`V_(OUT)=-V_(REF) N/4096`

Il funzionamento a quattro quadranti prevede l'impiego di una tensione di riferimento negativa (vedi figura 17); il DAC su comporta come il circuito equivalente di figura 16 e la tensione in uscita vale:

`V_(OUT)=V_(REF) (N/4096 - 1)`

Nel funzionamento a due quadranti i 12 bit codificano un numero positivo da 0 a 4096 che corrisponde a una tensione compresa tra 0 e V_REF, in quello a quattro quadranti un numero tra -2048 e 2047 che corrisponde a una tensione compresa tra -V_REF e V_REF⁹⁾.

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