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+====== 15B - La risposta in frequenza degli amplificatori ======
+===== 1 Premessa =====
+Spesso è necessario limitare in frequenza il funzionamento di un amplificatore, ad esempio per evitare di amplificare i disturbi in alta frequenza (fruscii) o in bassa frequenza (deriva termica, offset). Questo capitolo affronta il problema della risposta in frequenza degli amplificatori, con particolare riferimento ai filtri attivi passa-alto, passa-basso e passa-banda, considerando dapprima l'amplificatore operazionale ideale (stesso comportamento ad ogni frequenza) e poi quello reale (limitato in frequenza).
+===== 2 Frequenza di taglio inferiore: il filtro attivo passa-alto =====
+Il circuito di //figura 1// è un amplificatore invertente con un condensatore in serie a R<sub>s</sub>. A causa del condensatore il guadagno V<sub>o</sub>/V<sub>s</sub> non è più costante a tutte le frequenze e il legame tra ingresso e uscita va espresso con la funzione di trasferimento:
+`G(s)=(V_o(s) )/( V_s(s) )=-( Z_(f) (s))/(Z_s(s))=-R_f/(R_s+X_s(s))=-(sR_(f) C)/(1+sR_s C)`
+Osservando la //fdt// notiamo che:
+  * è presente uno zero nell'origine e un polo come nel filtro passa alto (anche se le due τ sono diverse) ma
+  * il comportamento è invertente
+  * il guadagno a frequenze elevate non vale 1 ma -R<sub>f</sub>/R<sub>s</sub> come nell'amplificatore invertente
+Il diagramma di Bode di //figura 2// conferma quanto detto((il diagramma della fase - non riportato - è invertito di 180° rispetto a quello del filtro RC passa-alto)) e mette in evidenza la **frequenza di taglio** dove l'attenuazione rispetto al valore massimo vale -3dB:
+`f_t=1/(2 pi R_s C_s)`
+Il circuito appena visto è un **filtro attivo passa-alto del primo ordine** e rispetto al filtro passivo:
+  * può amplificare il segnale
+  * ha un comportamento che non dipende dal carico
+Entrambi i vantaggi derivano dall'uso dell'amplificatore operazionale come componente attivo.
+La //figura 3// mostra come realizzare un filtro attivo passa-alto con configurazione non invertente collegando in cascata filtro e amplificatore. La //fdt// del circuito vale:
+`G(s)=(V_o(s) )/( V_s(s) )=(sRC)/(1+sRC) cdot (R_1+R_2)/(R_1)`
+==== Extra ====
+  * esempio 1 (progetto di un filtro attivo)
+  * problema svolto 2 (metodo per il dimensionamento di due condensatori di accoppiamento)
+===== 3 Frequenza di taglio superiore: i filtri attivi passa-basso e passa banda =====
+Per fissare una frequenza di taglio superiore e realizzare un **filtro attivo passa-basso** invertente si può ricorrere al circuito di //figura 4//. La sua //fdt// è:
+`G(s)=(V_o (s))/(V_s (s))=-(Z_(f)(s))/(Z_s(s))=-R_f/R_s cdot 1/(1+sR_(f)C_(f))`
+che coincide con quella di un filtro RC passa basso moltiplicato per il guadagno -R<sub>f</sub>/R<sub>s</sub> dell'amplificatore invertente. La //figura 5// riporta il diagramma di Bode del modulo della //fdt//; anche in questo caso il comportamento invertente fa sì che il diagramma della fase coincida con quello del filtro passivo corrispondente a meno di 180°. La frequenza di taglio, a cui corrisponde un'attenuazione di 3dB rispetto al valore massimo |R<sub>f</sub>/R<sub>s</sub>|<sub>dB</sub>, vale:
+`f_t=1/(2 pi R_(f)C_(f))`
+Il condensatore inserito nel circuito fissa un limite superiore in frequenza per l'amplificatore realizzando un filtro attivo RC passa-basso del primo ordine. Combinando questo circuito con quello di //figura 1// si può imporre un limite superiore e inferiore di frequenza realizzando un filtro attivo RC passa-banda (//figura 6//). Le frequenze di taglio superiore e inferiore si possono calcolare con:
+`f_(tL)=1/(2 pi R_(s)C_(s)) quad , quad f_(tH)=1/(2 pi R_(f)C_(f))`
+ma solo nell'ipotesi che tra loro vi sia almeno una decade ((quando questa ipotesi non è vera alle due frequenze non corrisponde più un'attenuazione di -3dB)). La //fdt// vale:
+`G(s)=(V_o (s))/(V_s (s))=-(sR_(f)C_s)/(\(1+sR_(f)C_(f))(1+sR_sC_s))`
+e il corrispondente diagramma di Bode avrà la tipica forma trapeziodale del filtro passa-banda dovuta alla presenza di uno zero seguito da due poli((il guadagno in centro banda è sempre -R<sub>f</sub>/R<sub>s</sub> perché il primo termine a denominatore tende a 1 e il secondo a sR<sub>s</sub>C<sub>s</sub>)).
+Nell'amplificatore non invertente si può fissare un limite di frequenza superiore con un filtro RC passivo in ingresso, come già visto. In alternativa si può ricorrere al circuito di //figura 7a// che ha un comportamento leggermente diverso perché alle alte frequenze, il guadagno tende a 1 invece che a -∞((il condensatore diventa un cortocircuito e l'amplificatore si comporta da inseguitore di tensione)) come si vede dal diagramma di Bode di //figura 7b//. In quest'ultimo caso la frequenza di taglio può essere approssimata con:
+`f_t=1/(2 pi R_2 C_2)`
+==== Cenni sulla scheda integrativa 15B.1 ====
+Nei circuiti RC - che sono i più comuni - conviene determinare la banda passante studiando tre circuiti equivalenti:
+  * il circuito in centro banda, privo di condensatori, permette di calcolare il guadagno in centro banda
+  * il circuito in bassa frequenza, dove sono presenti solo i condensatori più grandi - quelli più piccoli si comportano da circuiti aperti((la loro reattanza assume infatti un valore molto elevato perché inversamente proporzionale a frequenza e capacità; alle alte frequenze avviene il contrario)) - permette di calcolare la frequenza di taglio inferiore
+  * il circuito in alta frequenza, dove sono presenti solo i condensatori più piccoli - quelli grandi si comportano da cortocircuiti - permette di calcolare la frequenza di taglio superiore
+Per il calcolo delle frequenze di taglio, nell'ipotesi che i condensatori non interagiscano tra loro, si usa un metodo approssimato: si valutano le costanti di tempo associate ai vari condensatori((moltiplicando la capacità per la resistenza equivalente secondo Thevenin vista dal condensatore)) e la frequenza di taglio corrispondente ad ognuno poi, con una formula, si ricava la frequenza di taglio dell'intero circuito. In fase di progetto conviene invece rendere trascurabile l'effetto di tutti i condensatori tranne uno alla frequenza di taglio, ad esempio:
+  * per fissare la frequenza di taglio inferiore conviene mantenere la capacità più grande moltiplicare le altre per 10
+  * per fissare la frequenza di taglio superiore conviene mantenere la capacità più piccola e dividere le altre per 10
+In questo modo un solo condensatore è responsabile della frequenza di taglio e il polo corrispondente viene detto **polo dominante**.
+==== Extra ====
+  * esempio 2 (progetto di un filtro passa-banda) e 3 (passa-banda e mixer audio)
+  * scheda integrativa 15B.1 (banda passante in un amplificatore generico, circuiti equivalenti in centro banda, bassa e alta frequenza)
+  * scheda di laboratorio 15B.1 (misura della risposta in frequenza di un amplificatore)
+  * problemi svolti 1 e 2 (passa banda), 3 (effetto di un condensatore trascurabile), 5 e 6 (fdt e Bode)
+  * problemi da svolgere 14 (fdt), 15 (Bode), 16 (passa-banda)
+===== 4 Limiti in frequenza di un operazionale reale =====
+La //figura 9a// mostra la risposta in frequenza di un operazionale ad anello aperto; come si vede il guadagno diminuisce già a frequenze molto basse e la banda passante è di appena 5 Hertz laddove per l'operazionale ideale si ipotizzava una banda passante infinita. Questa limitazione - a prima vista un difetto - è introdotta artificialmente per evitare instabilità causate dai disturbi in alta frequenza. Osservando l'andamento della risposta in frequenza si nota che:
+  * la pendenza è di -20dB per decade; questo è dovuto alla presenza di un filtro RC del primo ordine interno all'integrato((negli operazionali compensati internamente, quelli non compensati si usano molto più raramente e devono essere compensati con componenti esterni)) che introduce un polo dominante((rispetto ai poli dovuti ad altri condensatori interni all'operazionale o alle capacità parassite))
+  * il prodotto di guadagno e frequenza è costante per tutti i punti del tratto in pendenza (per ogni decade il guadagno scende di 20dB, cioè diventa dieci volte più piccolo) ed è chiamato **prodotto guadagno banda** o **GBW**
+  * il //GBW// coincide con la frequenza a 0dB (1 MHz nel caso del //741//)
+Il //GBW// è un parametro caratteristico degli operazionali reali e costituisce un limite in frequenza nelle applicazioni degli OP-AMP; ad anello chiuso infatti il guadagno sarà sempre minore di quello ad anello aperto e la banda passante sarà determinata di conseguenza, come mostrato in //figura 9b//.
+Quando si progetta un amplificatore occorre quindi considerare che anche senza impiegare condensatori esterni è sempre presente un limite in frequenza imposto dal //GBW// e che, dal momento che l'andamento della risposta in frequenza è asintotico e l'errore massimo (-3dB) si commette proprio in corrispondenza della frequenza massima, la banda passante reale sarà minore di quella individuata.
+Per ottenere una banda passante elevata conviene:
+  * operare con un guadagno ad anello chiuso non elevato
+  * impiegare un OP-AMP con GBW più elevato (come il //355//)
+  * realizzare l'amplificatore con più stati in cascata a basso guadagno (tenendo conto però che la banda passante complessiva è minore di quella del singolo stadio)
+La banda passante è limitata anche da un altro parametro, lo **slew rate**, che corrisponde alla massima velocità con cui può variare il segnale di uscita:
+`SR=(dv_o)/dt|_max`
+La limitazione imposta dallo //SR// si fa sentire nei segnali di ampiezza elevata (dv elevato) e frequenza elevata (dt ridotto) e comporta una deformazione del segnale di uscita (//figura 10//). In questi casi occorre valutare quale parametro, tra //GBW// e //SR//, determinerà la banda passante, tenendo presente che l'effetto dello slew rate dipende dalla forma d'onda del segnale (ad esempio dv/dt è costante per un segnale triangolare e variabile, con un massimo in corrispondenza del passaggio per lo zero, per uno sinusoidale).
+==== Extra ====
+  * esempio 4 (calcolo banda passante in base al //GBW//), esempio 5 e 6 (calcolo banda passante in base a //GBW// e //SR//)
+  * problemi svolti 8 (banda passante da //GBW// e //SR//) e 11 (progetto amplificatore audio)
+  * schede di laboratorio 2 (misura GBW) e 3 (misura SR con segnale sinusoidale, triangolare e quadro) in simulazione
+===== 5 Circuiti derivatori e integratori =====
+In //figura 11a// è rappresentato un derivatore ideale attivo così chiamato perché la tensione in uscita è proporzionale alla derivata di quella in ingresso. Infatti, analizzando il circuito nel dominio del tempo, si ricava:
+`v_o=-R_(f)C(dv_s)/(dt)`
+Questo circuito non può essere utilizzato perché la sua //fdt// è:
+`G(s)=-sR_(f)C`
+che non è fisicamente realizzabile((il numero di zeri è maggiore di quello dei poli)) e nemmeno desiderabile perché, come si vede nel diagramma di Bode di //figura 11b//, alle alte frequenze il guadagno sarebbe infinito e i disturbi renderebbero il circuito inutilizzabile. Nella pratica si utilizza come circuito derivatore il filtro attivo passa-alto, che si differenzia solo per la presenza della resistenza R<sub>s</sub>. In questo caso:
+  * alle basse frequenze il comportamento coincide con quello del derivatore ideale
+  * alle alte frequenze il guadagno è costante e il comportamento è da amplificatore in centro banda
+Il //figura 13a// è rappresentato un integratore ideale attivo così chiamato perché la tensione in uscita è proporzionale all'integrale di quella in ingresso. Infatti, analizzando il circuito nel dominio del tempo, si ricava:
+`v_o=-1/(R_s C_f)int_0^tv_s dt +K`
+dove K è la tensione ai capi del condensatore per t=0. Anche questo circuito non è utilizzabile perché la sua //fdt// è:
+`G(s)=-1/(sR_s C_(f))`
+a cui corrisponde il diagramma di Bode di //figura 13b// con guadagno infinito alle basse frequenze dove i disturbi in continua renderebbero inutilizzabile il circuito. Nella pratica si utilizza come circuito integratore il filtro attivo passa-basso, che si differenzia solo per la presenza della resistenza R<sub>f</sub>. In questo caso:
+  * alle basse frequenze il guadagno è costante e il comportamento è da amplificatore in centro banda
+  * alle alte frequenze il comportamento coincide con quello dell'integratore ideale
+==== Extra ====
+  * esempio 7 (circuito derivatore e segnale triangolare) e 8 (circuito integratore e onda quadra)
+===== 6 La distorsione di un amplificatore =====
+La **distorsione lineare** è dovuta agli elementi reattivi presenti nel circuito e produce una deformazione del segnale di uscita rispetto a quello di ingresso e si presenta come:
+  * **distorsione di frequenza**: le armoniche che compongono il segnale sono amplificate in maniera diversa in base al modulo della risposta in frequenza del circuito
+  * **distorsione di fase**: le armoniche subiscono sfasamenti diversi in base alla fase della risposta in frequenza del circuito
+La **distorsione non lineare** è dovuta alle non-linearità dei componenti attivi presenti nel circuito e si manifesta con armoniche indesiderate che si aggiungono al segnale (ad esempio con la presenza di più armoniche in uscita con un segnale sinusoidale in ingresso). Si definisce **distorsione d'armonica** il rapporto tra il valore efficace di un'armonica e quello della fondamentale:
+`D_n % = V_n/V_1 100`
+La **distorsione armonica totale** è invece il rapporto tra il valore efficace di tutte le armoniche tranne la fondamentale e quello della fondamentale.
+Con segnali non sinusoidali può manifestarsi anche una **distorsione da intermodulazione** dove, oltre ad armoniche multiple della frequenza del segnale compaiono altre armoniche (somma e differenza di multipli delle armoniche del segnale in ingresso).
+===== Note =====
+/*
+ALTRO
+polo dominante nelle lezioni multimediali a pag 362 ma anche SI 15b.1, par 4
+condensatori interagenti vedi appunti itis ravenna (risposta in frequenza amplificatori)
+<del>lezioni multimediali: NESSUNA
+  * 1, 2, 3 basate su Labview. NO
+  * 1 guadagno teorico e effettivo (formula sbagliata vedi wp)
+  * 2 operazionale ideale passa-alto|basso|banda
+  * 3 polo dominante e limiti in frequenza dell'operazionale reale, GBW
+  * 4 amplificatore audio. multisim con strumenti labview. inutilmente complessa. NO
+  * 5 distorsione. stesso circuito del 4 e altri strumenti labview. NO</del>
+schede di laboratorio:
+  * 1 passa-banda con operazionale
+  * 2 misura GBW
+  * 3 misura SR con segnale sinusoidale, triangolare e quadro
+schede integrative:
+  * 1 banda passante per un amplificatore generico con i tre circuiti (centro banda, condensatori grandi e piccoli). Sì, ma solo la prima colonna e polo dominante rendendo trascurabili tutti i condensatori tranne uno
+  * 2 cenni su criteri di stabilità di Nyquist (ristretto) e margini di fase e di guadagno. Sì, ma solo i criteri
+  * 3 analisi qualitativa della BW di un amplificatore con onda quadra e formule approssimate. NO
+ambrosetti (filtri attivi):
+  * problemi con accoppiamento diretto: sensibilità disturbi a bassa f e deriva termica
+  * costanti di tempo: RC dove R è la resistenza di thevenin vista dal condensatore
+  * OP-AMP reale: capacità parassite + gudagno + sfasamento 180° -> rischio instabilità -> capacità di compensazione con ft bassa in catena aperta e alta in catena chiusa (perché GBW costante)
+  * problema SR con segnali di ampiezza elevata e alta f
+  * integratore ideale: bode|guadagno -> instabilità a f basse (dove ci sono sempre tensioni di offset); giustificazione: il condensatore è un circuito aperto -> non c'è retroazione, soluzione: R in parallelo -> filtro attivo passa-basso
+  * derivatore ideale: bode|guadagno -> instabilità a f alte (disturbi sempre presenti) inoltre fdt senza poli (impossibile); soluzione: R in serie -> filtro attivo passa-alto
+  * integratore e derivatore non sono filtri (non c'è una ft)
+PETRINI
+  * NA 2-6 funzione di trasferimento con poli e zeri complessi coniugati: pulsazione naturale e smorzamento e loro significato sul piano di Gauss, effetti sul modulo della rif
+  * NA 2-7 determinazione della fdt dall'esame diretto della rete:
+    * elementi interagenti e calcolo dei poli con le costanti di tempo
+    * zeri da risposta in continua e per f infinita, annullamento della risposta
+*/
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