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prerequisiti [2015/10/05 08:14] – [Impedenza] adminprerequisiti [2018/04/17 10:03] admin
Linea 17: Linea 17:
 Il **fenomeno** della corrente elettrica consiste nel moto ordinato di elettroni in un conduttore. Per quantificarlo utilizziamo la grandezza **intensità di corrente elettrica** (che chiameremo semplicemente **corrente**). La corrente ha simbolo **I** e la sua unità di misura è l'**Ampère** (A) e per definizione è //la carica che nell'unità di tempo attraversa la sezione di un conduttore//. Questa stessa definizione può essere espressa con la formula: Il **fenomeno** della corrente elettrica consiste nel moto ordinato di elettroni in un conduttore. Per quantificarlo utilizziamo la grandezza **intensità di corrente elettrica** (che chiameremo semplicemente **corrente**). La corrente ha simbolo **I** e la sua unità di misura è l'**Ampère** (A) e per definizione è //la carica che nell'unità di tempo attraversa la sezione di un conduttore//. Questa stessa definizione può essere espressa con la formula:
  
-$$I=Q/t [A]$$+`I=Q/t [A]`
  
 In un conduttore può circolare corrente solo se: In un conduttore può circolare corrente solo se:
Linea 33: Linea 33:
 Per mettere in movimento delle cariche - e quindi far circolare corrente in un circuito - è necessaria dell'energia. La **tensione** (o **differenza di potenziale**) tra due punti è l'//energia che occorre spendere per spostare la carica di un Coulomb dal primo al secondo punto//. Il simbolo della tensione è **V** e la sua unità di misura è il **Volt** (V). La definizione di tensione può essere espressa con la formula: Per mettere in movimento delle cariche - e quindi far circolare corrente in un circuito - è necessaria dell'energia. La **tensione** (o **differenza di potenziale**) tra due punti è l'//energia che occorre spendere per spostare la carica di un Coulomb dal primo al secondo punto//. Il simbolo della tensione è **V** e la sua unità di misura è il **Volt** (V). La definizione di tensione può essere espressa con la formula:
  
-$$V_(AB) = W/Q [V]$$+`V_(AB) = W/Q [V]`
  
 Dove V<sub>AB</sub> rappresenta la tensione tra il punto A e il punto B del circuito, W l'energia e Q la carica. Dove V<sub>AB</sub> rappresenta la tensione tra il punto A e il punto B del circuito, W l'energia e Q la carica.
Linea 46: Linea 46:
 In generale la **potenza** è l'energia trasformata nell'unità di tempo. Il suo simbolo è **P** e la sua unità di misura il **Watt** (simbolo W). Con una formula: In generale la **potenza** è l'energia trasformata nell'unità di tempo. Il suo simbolo è **P** e la sua unità di misura il **Watt** (simbolo W). Con una formula:
  
-$$P=W/t [W]$$+`P=W/t [W]`
  
 Osserviamo che: Osserviamo che:
Linea 54: Linea 54:
 Nei **circuiti in continua** la potenza può essere espressa come prodotto di tensione e corrente: Nei **circuiti in continua** la potenza può essere espressa come prodotto di tensione e corrente:
  
-$$P=V cdot I [W]$$+`P=V cdot I [W]`
  
 Nei **circuiti in alternata** si distingue tra potenza attiva, reattiva ed apparente, dove solo la prima segue la definizione generale e vale: Nei **circuiti in alternata** si distingue tra potenza attiva, reattiva ed apparente, dove solo la prima segue la definizione generale e vale:
  
-$$P=VI cos phi [W]$$+`P=VI cos varphi [W]`
  
 dove V e I sono i valori efficaci di tensione e corrente e φ lo sfasamento tra le due grandezze. La potenza reattiva è l'energia che viene accumulata e restituita al secondo dalle reattanze (condensatori e induttori) e si calcola così: dove V e I sono i valori efficaci di tensione e corrente e φ lo sfasamento tra le due grandezze. La potenza reattiva è l'energia che viene accumulata e restituita al secondo dalle reattanze (condensatori e induttori) e si calcola così:
  
-$$Q=VI text(sen) phi [VAR]$$+`Q=VI text(sen) varphi [VAR]`
  
 Osserviamo che:  Osserviamo che: 
Linea 70: Linea 70:
 Infine la potenza apparente è: Infine la potenza apparente è:
  
-$$S = V I [VA]$$+`S = V I [VA]`
  
 e si misura in Volt-Ampère. Non ha nessun significato particolare ed è legata alle altre due potenze dalla relazione: e si misura in Volt-Ampère. Non ha nessun significato particolare ed è legata alle altre due potenze dalla relazione:
  
-$$S=sqrt(P^2+Q^2)$$+`S=sqrt(P^2+Q^2)`
 ===== Definizioni fondamentali sui circuiti ===== ===== Definizioni fondamentali sui circuiti =====
  
Linea 127: Linea 127:
 La **resistenza** di un conduttore è un parametro costante che quantifica quanto il conduttore si oppone al passaggio di corrente. Il simbolo della resistenza è **R** e la sua unità di misura è l'**Ohm** (simbolo **Ω**). La **resistenza** di un conduttore è definita come il //rapporto tra la tensione applicata a un conduttore e la corrente che lo attraversa//. Con una formula: La **resistenza** di un conduttore è un parametro costante che quantifica quanto il conduttore si oppone al passaggio di corrente. Il simbolo della resistenza è **R** e la sua unità di misura è l'**Ohm** (simbolo **Ω**). La **resistenza** di un conduttore è definita come il //rapporto tra la tensione applicata a un conduttore e la corrente che lo attraversa//. Con una formula:
  
-$$R=V/I [Ω]$$+`R=V/I [Ω]`
  
 La formula sopra è nota come **legge di Ohm**, spesso viene scritta così: La formula sopra è nota come **legge di Ohm**, spesso viene scritta così:
  
-$$V=R*I$$+`V=R*I`
  
 e afferma che //in un conduttore di resistenza R la tensione e la corrente sono proporzionali// (R infatti è costante). e afferma che //in un conduttore di resistenza R la tensione e la corrente sono proporzionali// (R infatti è costante).
Linea 141: Linea 141:
 Il **condensatore** è un componente costituito da due superfici di materiale conduttore (armature) separate da un isolante che è in grado di accumulare carica. La carica accumulata dipende dalla tensione applicata e dalla **capacità** del condensatore, un parametro costante che esprime //la carica accumulata per ogni Volt applicato// come nella seguente formula: Il **condensatore** è un componente costituito da due superfici di materiale conduttore (armature) separate da un isolante che è in grado di accumulare carica. La carica accumulata dipende dalla tensione applicata e dalla **capacità** del condensatore, un parametro costante che esprime //la carica accumulata per ogni Volt applicato// come nella seguente formula:
  
-$$C=Q/V [F]$$+`C=Q/V [F]`
  
 dove **C** è la capacità misurata in **Farad** (simbolo F). dove **C** è la capacità misurata in **Farad** (simbolo F).
Linea 149: Linea 149:
 Nel condensatore la tensione e la corrente sono legate dalla **legge di Ohm**: Nel condensatore la tensione e la corrente sono legate dalla **legge di Ohm**:
  
-$$i=C cdot (dv)/(dt)$$+`i=C cdot (dv)/(dt)`
  
 che dice che la corrente dipende dalla derivata nel tempo della tensione, cioè dalla velocità con cui cambia la tensione nel tempo. Dalla stessa legge si può dedurre il cosiddetto **principio di continuità del condensatore**, che afferma che //in un condensatore la tensione non può variare a gradino// (cioè non può "saltare" da un valore a un altro in zero secondi) e, più in generale, che //il condensatore ostacola le variazioni di tensione//. che dice che la corrente dipende dalla derivata nel tempo della tensione, cioè dalla velocità con cui cambia la tensione nel tempo. Dalla stessa legge si può dedurre il cosiddetto **principio di continuità del condensatore**, che afferma che //in un condensatore la tensione non può variare a gradino// (cioè non può "saltare" da un valore a un altro in zero secondi) e, più in generale, che //il condensatore ostacola le variazioni di tensione//.
Linea 155: Linea 155:
 Applicando un gradino di tensione a un condensatore si ha un **transitorio di carica** (o scarica) dove le grandezze tensione, carica e corrente variano seguendo una legge esponenziale decrescente. In un primo tempo le grandezze cambiano rapidamente per poi stabilizzarsi su un valore in un tempo pari a circa cinque volte la **costante di tempo τ** così calcolata: Applicando un gradino di tensione a un condensatore si ha un **transitorio di carica** (o scarica) dove le grandezze tensione, carica e corrente variano seguendo una legge esponenziale decrescente. In un primo tempo le grandezze cambiano rapidamente per poi stabilizzarsi su un valore in un tempo pari a circa cinque volte la **costante di tempo τ** così calcolata:
  
-$$tau = RC [s]$$+`tau = RC [s]`
  
 dove R è una resistenza in serie al condensatore (un resistore, la resistenza interna di un generatore, la resistenza equivalente del resto del circuito semplificato con Thevenin o semplicemente quella dei cavi). Osservando l'andamento di tensione e corrente si può notare come il condensatore si comporti: dove R è una resistenza in serie al condensatore (un resistore, la resistenza interna di un generatore, la resistenza equivalente del resto del circuito semplificato con Thevenin o semplicemente quella dei cavi). Osservando l'andamento di tensione e corrente si può notare come il condensatore si comporti:
Linea 163: Linea 163:
 Per la tensione vale: Per la tensione vale:
  
-$$v(t)=V_f - (V_f - V_i) cdot e^(-t/tau)$$+`v(t)=V_f - (V_f - V_i) cdot e^(-t/tau)`
  
 dove V<sub>f</sub> è il valore finale e V<sub>i</sub> quello iniziale. dove V<sub>f</sub> è il valore finale e V<sub>i</sub> quello iniziale.
Linea 171: Linea 171:
 Un **induttore** è un conduttore avvolto a bobina in grando di generare campo magnetico quando percorso da corrente. Se la corrente cambia nel tempo si manifesta il fenomeno dell'__autoinduzione__: la variazione di corrente produce una variazione di flusso concatenato col circuito che, per la legge di Faraday, genera una __tensione indotta__ ai capi dell'induttore. Il parametro più importante di questo componente è l'**induttanza** (o coefficiente di autoinduzione), definita come il rapporto tra il flusso concatenato e la corrente che lo ha prodotto: Un **induttore** è un conduttore avvolto a bobina in grando di generare campo magnetico quando percorso da corrente. Se la corrente cambia nel tempo si manifesta il fenomeno dell'__autoinduzione__: la variazione di corrente produce una variazione di flusso concatenato col circuito che, per la legge di Faraday, genera una __tensione indotta__ ai capi dell'induttore. Il parametro più importante di questo componente è l'**induttanza** (o coefficiente di autoinduzione), definita come il rapporto tra il flusso concatenato e la corrente che lo ha prodotto:
  
-$$L=Phi_c/i [H]$$+`L=Phi_c/i [H]`
  
 Dove Φ<sub>c</sub> è il flusso concatenato e **L** l'induttanza misurata in **Henry** (simbolo H). Dove Φ<sub>c</sub> è il flusso concatenato e **L** l'induttanza misurata in **Henry** (simbolo H).
Linea 179: Linea 179:
 Nell'induttore la tensione e la corrente sono legate dalla **legge di Ohm**: Nell'induttore la tensione e la corrente sono legate dalla **legge di Ohm**:
  
-$$v=L cdot (di)/(dt)$$+`v=L cdot (di)/(dt)`
  
 che dice che la tensione indotta dipende dalla derivata nel tempo della corrente, cioè dalla velocità con cui cambia la corrente nel tempo. Dalla stessa legge si può dedurre che //in un induttore la corrente non può variare a gradino// (cioè non può "saltare" da un valore a un altro in zero secondi) e, più in generale, che //l'induttore ostacola le variazioni di corrente//. che dice che la tensione indotta dipende dalla derivata nel tempo della corrente, cioè dalla velocità con cui cambia la corrente nel tempo. Dalla stessa legge si può dedurre che //in un induttore la corrente non può variare a gradino// (cioè non può "saltare" da un valore a un altro in zero secondi) e, più in generale, che //l'induttore ostacola le variazioni di corrente//.
Linea 185: Linea 185:
 Anche l'induttore è caratterizzato da transitori dove le grandezze cambiano con legge esponenziale decrescente la cui costante di tempo vale: Anche l'induttore è caratterizzato da transitori dove le grandezze cambiano con legge esponenziale decrescente la cui costante di tempo vale:
  
-$$tau = L/R [s]$$+`tau = L/R [s]`
  
 dove R è una resistenza in serie all'induttore. Si può osservare come l'induttore si comporti: dove R è una resistenza in serie all'induttore. Si può osservare come l'induttore si comporti:
Linea 209: Linea 209:
 In un partitore di tensione, cioè una serie di resistenze, la tensione si suddivide sulle varie resistenze secondo la legge:  In un partitore di tensione, cioè una serie di resistenze, la tensione si suddivide sulle varie resistenze secondo la legge: 
  
-$$V_(R_n) =R_n/(sum R) cdot V_text(totale)$$+`V_(R_n) =R_n/(sum R) cdot V_text(totale)`
  
 In un partitore di corrente, cioè due resistenze in parallelo, la corrente si suddivide secondo la legge: In un partitore di corrente, cioè due resistenze in parallelo, la corrente si suddivide secondo la legge:
  
-$$I_(R_1)=R_2/(R_1+R_2) cdot I$$+`I_(R_1)=R_2/(R_1+R_2) cdot I`
  
 ==== Resistenza equivalente ==== ==== Resistenza equivalente ====
  
 Un gruppo di resistenze può essere sostituito da un unica resistenza equivalente calcolata, per semplificazioni successive, individuando: Un gruppo di resistenze può essere sostituito da un unica resistenza equivalente calcolata, per semplificazioni successive, individuando:
-      * resistenze **in serie**, cioè attraversate dalla stessa corrente, dove $$R_(eq)=R_1+R_2+R_3+...$$ +      * resistenze **in serie**, cioè attraversate dalla stessa corrente, dove `R_(eq)=R_1+R_2+R_3+...` 
-      * resistenze **in parallelo**, cioè sottoposte alla stessa tensione, dove $$R_(eq)=(R_1R_2)/(R_1+R_2)$$ o, con più di due resistenze, $$R_(eq)=1/(1/R_1+1/R_2+1/R_3+...)$$+      * resistenze **in parallelo**, cioè sottoposte alla stessa tensione, dove `R_(eq)=(R_1R_2)/(R_1+R_2)o, con più di due resistenze, `R_(eq)=1/(1/R_1+1/R_2+1/R_3+...)`
  
  
Linea 239: Linea 239:
 In un circuito con due soli nodi la tensione tra questi può essere calcolata in questo modo: In un circuito con due soli nodi la tensione tra questi può essere calcolata in questo modo:
  
-$$V=(+-E_n/R_n +-I_n)/(sum 1/R_n)$$+`V=(+-E_n/R_n +-I_n)/(sum 1/R_n)`
  
 dove al numeratore si considerano tutti i rami con generatori di tensione e corrente e si attribuisce il segno in base al loro verso e R<sub>n</sub> è la somma delle resistenze di ogni ramo privo di generatori di corrente. dove al numeratore si considerano tutti i rami con generatori di tensione e corrente e si attribuisce il segno in base al loro verso e R<sub>n</sub> è la somma delle resistenze di ogni ramo privo di generatori di corrente.
Linea 268: Linea 268:
 Una tensione sinusoidale cambia nel tempo con la legge: Una tensione sinusoidale cambia nel tempo con la legge:
  
-$$v(t)=V_max sen(omega t + phi)$$+`v(t)=V_max sen(omega t + varphi)`
  
 Dove: Dove:
  
-  * V<sub>max</sub> è il valore massimo, legato al valore efficace (valore equivalente in continua) dalla formula $$V = V_max/sqrt(2)$$ +  * V<sub>max</sub> è il valore massimo, legato al valore efficace (valore equivalente in continua) dalla formula `V = V_max/sqrt(2)` 
-  * ω è la pulsazione, legata alla frequenza f dalla relazione $$omega=2 pi f$$ +  * ω è la pulsazione, legata alla frequenza f dalla relazione `omega=2 pi f` 
-  * φ è la fase, legata al ritardo o anticipo rispetto alla sinusoide che passa per l'origine dalla relazione $$t_text(r/a)= phi/omega$$+  * φ è la fase, legata al ritardo o anticipo rispetto alla sinusoide che passa per l'origine dalla relazione `t_text(r/a)= phi/omega`
  
 ==== Metodo simbolico ==== ==== Metodo simbolico ====
Linea 280: Linea 280:
 Lo studio dei circuiti in alternata è agevolato se si rappresenta ogni corrente e ogni tensione con un vettore di ampiezza pari al valore efficace e angolo pari alla fase (la frequenza non è interessante perché uguale per tutte le grandezze). A sua volta i vettori possono essere rappresentati con dei numeri complessi: Lo studio dei circuiti in alternata è agevolato se si rappresenta ogni corrente e ogni tensione con un vettore di ampiezza pari al valore efficace e angolo pari alla fase (la frequenza non è interessante perché uguale per tutte le grandezze). A sua volta i vettori possono essere rappresentati con dei numeri complessi:
  
-$$v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + phi) to bar V = V _phi = V cos phi + j V sen phi$$+`v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + varphi) to bar V = V _varphi = V cos varphi + j V sen varphi`
  
 La trasformazione delle sinusoidi in vettori o numeri complessi - grandezze costanti caratterizzate da due soli valori - facilita molto i calcoli. Alla fine del procedimento si esegue una anti-trasformazione per ritornare alle sinusoidi: La trasformazione delle sinusoidi in vettori o numeri complessi - grandezze costanti caratterizzate da due soli valori - facilita molto i calcoli. Alla fine del procedimento si esegue una anti-trasformazione per ritornare alle sinusoidi:
  
-$$bar V = a+jb to {(V = sqrt (a^2+b^2)),(phi=text(arctg) b/a +- 180°):} to bar V = V _phi to v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + phi)$$+`bar V = a+jb to {(V = sqrt (a^2+b^2)),(varphi=text(arctg) b/a +- 180°):} to bar V = V _varphi to v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + varphi)`
  
 ==== Impedenza ==== ==== Impedenza ====
Linea 290: Linea 290:
 E' possibile accorpare i tre componenti passivi R, L e C in un unico termine detto impedenza, così definito: E' possibile accorpare i tre componenti passivi R, L e C in un unico termine detto impedenza, così definito:
  
-$$bar Z=R+j(omega L - 1/(omega C))=R+jX=Z_phi [Omega]$$+`bar Z=R+j(omega L - 1/(omega C))=R+jX=Z_varphi [Omega]`
  
 dove Z è l'impedenza, misurata in Ohm, espressa come numero complesso o come vettore. Il termine X è la reattanza totale somma della reattanza induttiva: dove Z è l'impedenza, misurata in Ohm, espressa come numero complesso o come vettore. Il termine X è la reattanza totale somma della reattanza induttiva:
  
-$$bar X_L =j omega L = jX_L= X_(L_90°)[Omega]$$+`bar X_L =j omega L = jX_L= X_(L_90°)[Omega]`
  
 e di quella capacitiva: e di quella capacitiva:
  
-$$bar X_C =-j 1/(omega C) = -jX_C= X_(C_-90°)[Omega]$$+`bar X_C =-j 1/(omega C) = -jX_C= X_(C_-90°)[Omega]`
  
 Al posto di tre componenti e tre leggi di Ohm si utilizzerà un unico componente, l'impedenza, e una sola legge di Ohm: Al posto di tre componenti e tre leggi di Ohm si utilizzerà un unico componente, l'impedenza, e una sola legge di Ohm:
  
-$$bar V= bar Z  cdot bar I$$+`bar V= bar Z  cdot bar I`
  
 Si osserva che: Si osserva che:
Linea 310: Linea 310:
  
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