15A - Fourier e Bode - I filtri passivi

Il teorema di Fourier afferma che qualunque funzione periodica può essere rappresentata come somma di sinusoidi secondo la serie:

`a(t)=A_0+A_1 sen (omega t + phi_1)+A_2 sen (2 omega t + phi_2)+A_3 sen (3 omega t + phi_3) + …`

dove:

• A₀ è la componente continua (valore medio)
• la prima sinusoide è detta armonica fondamentale (o prima armonica) ed ha la stessa frequenza della funzione periodica
• le altre sinusoidi sono dette armoniche di ordine superiore e hanno una frequenza multipla della fondamentale ¹⁾

Grazie al teorema di Fourier è possibile studiare il comportamento di un circuito - cioè la sua risposta a un determinato segnale - nel dominio della frequenza invece che in quello del tempo. In questo tipo di analisi è utile valutare lo spettro delle ampiezze del segnale cioè un diagramma che riporta l'ampiezza delle armoniche di un segnale in funzione della frequenza²⁾. Questo tipo di rappresentazione è particolarmente interessante perché mette in evidenza le componenti armoniche in cui è possibile scomporre un segnale e può essere ricavato per via teorica o con uno strumento detto analizzatore di spettro³⁾.

La possibilità di scomporre un segnale nelle sue componenti armoniche è particolarmente importante perché permette di studiare la risposta di un circuito ad un segnale periodico qualsiasi come somma della risposte alle singole componenti sinusoidali in cui è possibile scomporre il segnale. In altre parole è sufficiente conoscere la risposta del circuito ad un segnale sinusoidale per determinare la risposta ad un segnale di forma d'onda qualsiasi⁴⁾.

Per chiarire questi concetti esaminiamo alcuni segnali fondamentali considerando la loro evoluzione nel tempo (dominio del tempo) e lo spettro corrispondente (dominio della frequenza):

• in figura 1 è rappresentata un'onda quadra alternata
• in figura 2 è rappresentata un'onda quadra unidirezionale
• in figura 3 è rappresentata un'onda rettangolare (impulsiva) con un determinato duty cycle
• in figura 4 è rappresentata un'onda sinusoidale raddrizzata
• in figura 5 è rappresentata un'onda triangolare alternata

Osservando gli spettri di questi segnali e i coefficienti corrispondenti alle ampiezze delle varie armoniche possiamo osservare che:

• in genere - ma non sempre - l'ampiezza delle armoniche tende a decrescere all'aumentare della frequenza
• oltre una certa frequenza il contributo delle armoniche diventa trascurabile
• nei segnali emisimmetrici, dove è presente una simmetria tra i valori positivi e negativi dell'onda ogni mezzo periodo, mancano le armoniche pari

Tutte le grandezze periodiche presentano uno spettro discreto, cioè i valori delle ampiezze sono definiti solo per i multipli della frequenza del segnale. E' possibile tuttavia estendere questi tipo di analisi anche a segnali non periodici - considerandoli come segnali di periodo infinito - ottenendo degli spettri continui⁵⁾.

• scheda di laboratorio 15A.1 (guida all'analisi armonica tramite PC)
• starter Kit per Multisim (analisi armonica)
• una animazione da wikipedia che mostra il legame tra dominio del tempo e della frequenza per un onda quadra
• una pagina interativa sull'analisi armonica di alcuni segnali periodici
• le immagini e animazioni della pagina di Wikipedia sulla Serie_di_Fourier

Utilizzando il metodo simbolico è facile ricavare la relazione tra ingresso e uscita di un circuito che funziona in regime sinusoidale. Ad esempio, dato il circuito di figura 6 è possibile esprimere la tensione di uscita come:

`bar V_o(j omega)=1/(j omega C) (bar V_i(j omega))/(R + 1/(j omega C))`

allora la relazione tra ingresso e uscita, detta funzione di trasferimento a regime sinusoidale o più semplicemente risposta in frequenza del circuito, vale:

`bar G(j omega)=(bar V_o(j omega))/(bar V_i(j omega))=1/(1+ j omega RC)`

Sostituendo a jω la variabile complessa s si può esprimere la funzione di trasferimento (fdt) come:

`bar G(s)=(bar V_o(s))/(bar V_i(s))=1/(1+ sRC)`

Osserviamo che:

• il metodo simbolico è stato introdotto nei circuiti in alternata dove la frequenza - e quindi anche la pulsazione ω - erano costanti mentre ora stiamo affrontando l'analisi nel dominio della frequenza dove le frequenza e pulsazione sono variabili
• la risposta in frequenza serve a studiare il sistema in regime sinusoidale ed è un caso particolare della funzione di trasferimento che vale per qualunque tipo di segnale (non sinusoidale e non a regime)
• in questo capitolo procederemo ricavando la funzione di trasferimento dei vari circuiti (variabile s) ma la utilizzeremo prevalentemente per ottenere la risposta in frequenza (variabile jω e regime sinusoidale)

Per ricavare la fdt di un circuito è sufficiente esprimere il legame tra ingresso e uscita, ricordando di utilizzare le reattanze 1/sC per i condensatori e sL per le induttanze. Il procedimento è chiarito negli esempi 1, 2 e 3.

Dalla fdt si ricava la risposta in frequenza sostituendo alla variabile complessa s il termine jω.

• esempi 1, 2 e 3
• esercizi svolti 3 e 4
• problemi da svolgere 18 e 19

Ogni funzione di trasferimento può essere espressa come rapporto tra due polinomi. Il grado n del polinomio al denominatore - che è sempre maggiore o, al limite, uguale a quello m del numeratore - indica l'ordine del sistema.

Le radici del polinomio al numeratore sono dette zeri della fdt mentre quelle del polinomio al denominatore sono dette poli. Dal momento che la fdt è una funzione della variabile complessa s i poli e gli zeri possono essere reali o coppie di numeri complessi coniugati. Nel caso dei circuiti elettrici il numero di poli - che coincide con il grado del polinomio al denominatore e quindi con l'ordine del sistema - corrisponde al numero di elementi reattivi indipendenti⁶⁾ presenti nel circuito⁷⁾.

Per mettere in evidenza poli e zeri si può scrivere la fdt nella cosiddetta prima forma fattorizzata:

`G(s)={K(s-z_1)(s-z_2)…(s-z_(m'))}/{s^(g)(s-p_1)(s-p_2)…(s-p_(n'))}`

dove:

• K è il fattore di guadagno
• m' è il numero degli zeri non nulli
• n' è il numero di poli non nulli
• g è la differenza tra i poli e gli zeri nulli e rappresenta il tipo del sistema

Nello studio della risposta in frequenza - in particolare per tracciare i diagrammi di Bode - sarà utile mettere in evidenza le costanti di tempo associate a poli e zeri non nulli così definite⁸⁾:

`tau_(z_(i)) = -1/z_i quad , tau_(p_(i)) = -1/p_i`

ed esprimere la fdt nella seconda forma fattorizzata:

`G(s)=mu{(1+s tau_(z_(i)))(1+s tau_(z_(2)))…(1+s tau_(z_(m')))}/{s^(g)(1+s tau_(p_(i)))(1+s tau_(p_(2)))…(1+s tau_(p_(n')))}`

dove μ è il guadagno di G(s) che vale:

`mu = K{(-z_1)(-z_2)…(-z_m')}/{(-p_1)(-p_2)…(-p_n')}`

Nei sistemi di tipo zero (dove g vale zero) μ corrisponde al guadagno statico G(0), cioè al valore della fdt alla frequenza zero.

• problemi svolti 5 e 20

Nel paragrafo 2 si è già detto che la risposta in frequenza è un caso particolare della funzione di trasferimento riferita al regime sinusoidale; più precisamente il teorema della risposta in frequenza dice che se un quadripolo lineare con fdt G(s) è sollecitato con un segnale sinusoidale di pulsazione ω₀ in uscita a regime sarà presente un segnale sinusoidale con la stessa pulsazione e:

• ampiezza pari al prodotto tra l'ampiezza del segnale in ingresso e il modulo della fdt valutato per s=jω₀
• fase pari alla somma tra la fase del segnale in ingresso e l'argomento della fdt valutato per s=jω₀

I diagrammi di Bode sono una rappresentazione grafica della risposta in frequenza G(jω) e riportano su due grafici semilogaritmici l'andamento di modulo e fase di G(jω) in funzione della pulsazione (o della frequenza). L'asse delle ascisse viene suddiviso in decadi indicando a intervalli regolari le potenze del 10 della frequenza (o della pulsazione), secondo la legge:

`x=log_10 f`

dove x è la posizione sull'asse e f la frequenza. L'uso di una scala logaritmica complica leggermente la lettura dei diagrammi ma:

• consente di rappresentare un intervallo di frequenze molto ampio in poco spazio
• mantiene costante la risoluzione percentuale nel range di valori considerato (ad esempio è possibile distinguere il 10% di 10 Hz così come il 10% di 100 kHz)

Osserviamo infine che:

• l'asse delle ascisse non può partire dal valore zero (il cui logaritmo è -∞)
• l'asse può partire da un valore arbitrario f₀ e rappresentare una decade con un intervallo qualsiasi Δx; in questo caso le formule per passare dal valore f della frequenza a quello delle divisioni x saranno `f=f_0 10^(x/(Delta x)) quad , quad x=Delta x log_10 f/f_0 `

Nei due diagrammi il modulo è espresso in decibel (con scala lineare) e la fase in gradi.

Premessa: questo paragrafo e il successivo mostrano come tracciare e interpretare i diagrammi di Bode dei due filtri passivi più semplici; nel paragrafo 8 vedremo un metodo generale per tracciare rapidamente i diagrammi

La figura 12 mostra un filtro RC passa-basso del 1° ordine. La sua ftd, espressa nella seconda forma fattorizzata, vale:

`G(s)=1/(1+sRC)`

Come si vede il guadagno statico μ vale 1 ed è presente un solo polo:

`p_1=-1/(RC)`

Ponendo s=jω otteniamo la risposta in frequenza G(jω) che ha modulo:

`|bar G(j omega)|=1/|1+ j omega RC|=1/(sqrt(1^2+omega^2 R^2 C^2))`

e fase:

`/_ bar G(j omega)= arctg {:0/1:} -arctg {:(omega RC)/1:}=-arctg ( omega RC)`

I due diagrammi di Bode mostrano l'andamento del modulo (in decibel) e della fase in funzione della pulsazione.

Se esprimiamo il modulo in decibel si ottiene:

`|bar G(j omega)|_(dB)=20 log |bar G(j omega)|=20 log {:1/sqrt(1+ omega^2 R^2 C^2):}=-10 log (1 + omega^2 R^2 C^2)`

Esaminiamo dapprima i due casi limite:

• per ω → 0 il modulo tende a 1 e il suo valore in decibel a 0
• per ω → ∞ il modulo tende a 0 e il suo valore in decibel a -∞

Per le pulsazioni intermedie si distinguono due casi:

• se ω « 1/RC⁹⁾ il termine ω²R²C² è trascurabile rispetto a 1; allora il modulo in decibel vale zero e non c'è attenuazione
• se ω » 1/RC si può trascurare 1; l'espressione del modulo diventa -20log(ωRC) che indica un'attenuazione crescente all'aumentare della pulsazione (il modulo diminuisce di 20 dB per decade)

Il comportamento del filtro è dunque caratterizzato dalla pulsazione:

`omega_t = 1/(RC)=|p_1|`

che è detta pulsazione di taglio e coincide col modulo dell'unico polo della fdt. Il valore di frequenza corrispondente è detto frequenza di taglio e si calcola con:

`f_t=omega_t / (2 pi) = 1/(2 pi RC)`

Questi valori sono particolarmente importanti per un filtro perché indicano la pulsazione (o la frequenza) oltre la quale il segnale viene attenuato. In definitiva il comportamento esibito dal quadripolo di figura 12 è quello di un filtro passa-basso dove:

• il segnale non subisce attenuazione fino alla frequenza di taglio
• il segnale subisce un'attenuazione crescente fino a diventare trascurabile per frequenze superiori alla frequenza di taglio

Possiamo giustificare questo comportamento ricordando che il valore della resistenza è costante mentre quello della reattanza capacitiva dipendente dalla pulsazione; infatti:

• per ω « 1/RC al diminuire della pulsazione la reattanza assume valori via via maggiori rendendo la cdt sulla resistenza trascurabile e la tensione in uscita praticamente coincide con quella di ingresso (il condensatore si comporta da interruttore aperto)
• per ω » 1/RC al crescere della pulsazione la reattanza assume un valori sempre più piccoli e la cdt ai suoi capi - cioè la tensione di uscita - diventa trascurabile (il condensatore si comporta da cortocircuito)

Dal punto di vista grafico questi ragionamenti si traducono nei diagrammi di figura 14a e 15a. Il primo è un diagramma asintotico che approssima quello reale con due semirette che originano dal punto con pulsazione pari a quella di taglio:

• la prima coincide con l'asse delle ascisse (0 dB)
• la seconda ha una pendenza negativa di 20 dB/decade

Il secondo grafico mostra l'andamento reale del modulo, che pur non essendo rettilineo, non è troppo diverso da quello asintotico. Osserviamo che:

• per valori sufficientemente distanti da ω_t i due grafici coincidono
• la massima approssimazione si commette in corrispondenza della pulsazione di taglio dove il modulo vale circa -3 dB¹⁰⁾

Per la fase si possono fare ragionamenti analoghi, in particolare:

• per ω → 0 la fase tende a 0°
• per ω → ∞ la fase tende a -90°
• per ω = ω_t la fase vale -45°

Osservando che una decade prima e una dopo la pulsazione di taglio i valori della fase sono già molto vicini a 0° e 90°; allora si può approssimare l'andamento della fase con il diagramma asintotico di figura 14b. L'andamento reale è invece quello non rettilineo di figura 15B.

Anche in questo caso possiamo giustificare questi valori osservando che:

• per ω « 1/RC le tensione di ingresso e uscita praticamente coincidono quindi lo sfasamento tende a 0°
• per ω » 1/RC la tensione di ingresso e la cdt sulla resistenza praticamente coincidono mentre la tensione di uscita - seppure di valore trascurabile - presenterà uno sfasamento di -90° rispetto alle altre due

• scheda di laboratorio 15A3 - confronto tra il dominio del tempo e della frequenza in un filtro RC passa-basso
• starter Kit per Multisim (il tracciamento dei diagrammi di Bode)

La figura 17 mostra un filtro RC passa-alto del primo ordine. La sua fdt vale¹¹⁾:

`G(s)=(sRC)/(1+ sRC)`

e presenta uno zero nell'origine, un polo e guadagno (non statico):

`z_0= 0 quad , quad p_1 = -1/(RC) quad , quad mu = RC`

La risposta in frequenza corrispondente vale:

`bar G(j omega)=(j omega RC)/(1+ j omega RC)`

Per ricavare l'andamento dei diagrammi di Bode si può procede come per il filtro passa-basso, esprimendo modulo e fase e valutando il loro andamento per via analitica. In questo paragrafo ci limitiamo ad esporre i risultati giustificandoli qualitativamente.

Anche in questo caso definiamo una pulsazione di taglio e una corrispondente frequenza di taglio:

`omega_t=1/(RC) quad , quad f_t=omega_t/(2 pi)`

ma il comportamento è da filtro passa-alto e al variare della frequenza del segnale in ingresso:

• il segnale subisce un'attenuazione crescente al diminuire della frequenza per valori inferiori alla frequenza di taglio
• il segnale non subisce attenuazione oltre la frequenza di taglio

Se esaminiamo l'andamento del modulo possiamo dire:

• per ω → 0 il modulo tende a 0 e il suo valore in decibel a -∞
• per ω → ∞ il modulo tende a 1 e il suo valore in decibel a 0
• per ω « 1/RC si ha un attenuazione crescente al diminuire della pulsazione (il modulo diminuisce di 20 dB per decade¹²⁾)
• per ω » 1/RC il modulo vale 1 e il suo valore in decibel 0 cioè non c'è attenuazione

Per la fase invece:

• per ω → 0 la fase tende a 90°
• per ω → ∞ la fase tende a 0°
• per ω = ω_t la fase vale 45°

In figura 18 sono rappresentati i diagrammi di Bode asintotici corrispondenti. il modulo è approssimato con due semirette:

• una con pendenza di +20 dB/decade fino alla pulsazione di taglio
• una orizzontale a 0 dB per pulsazioni superiori

Per la fase invece si distinguono tre tratti:

• una semiretta orizzontale a +90° fino a una decade in meno della pulsazione di taglio
• una semiretta orizzontale a 0° per pulsazioni superiori di una decade alla pulsazione di taglio
• un tratto che unisce le due semirette con pendenza di 45°/decade

Si tratta di andamenti asintotici che approssimano l'andamento reale di modulo e fase. Come per il filtro passa-basso l'errore massimo si ha:

• per il modulo in corrispondenza della pulsazione di taglio (3 dB)
• per la fase una decade prima e una dopo la pulsazione di taglio

Volendo giustificare intuitivamente il comportamento del filtro passa-alto osserviamo che:

• al diminuire della pulsazione cresce la reattanza capacitiva e la cdt ai capi della resistenza - cioè la tensione in uscita - diventa trascurabile; lo sfasamento è dovuto al fatto che la tensione ai capi della resistenza è in anticipo di 90° rispetto a quella ai capi della reattanza (che in questo caso coicide con quella di ingresso)
• al crescre della pulsazione diminuisce la reattanza capacitiva fino a diventare trascurabile e la tensione in uscita coincide con quella in ingresso sia in modulo che in fase

• problemi svolti 7 (risposta con filtro passa-alto e passa-basso), 11 (progetto filtro e Thevenin), 12 e 13 (filtro e armoniche)

Se una fdt ha tutti poli e zeri reali è possibile tracciare i diagrammi di Bode con un procedimento grafico: espressa la G(s) nella seconda forma fattorizzata sarà sufficiente sommare i contributi elementari di poli, zeri e guadagno della fdt. Questo procedimento è possibile perché il modulo è espresso in decibel - quindi, per le proprietà dei logaritmi, i prodotti diventano somme¹³⁾ - mentre la fase si calcola come somma di più termini.

Il contributo dei vari termini è il seguente:

• guadagno μ → retta orizzontale di ordinata `20 log|mu|` (figura 19a)
• zero non nullo → 0 dB per `omega < omega_z = |z_i|`; pendenza +20 dB/decade per `omega > omega_z = |z_i|` (figura 20a)
• polo non nullo → 0 dB per `omega < omega_p = |p_i|`; pendenza -20 dB/decade per `omega > omega_p = |p_i|` (figura 21a)
• zero nullo (zero nell'origine) → retta con pendenza +20 dB/decade passante per `omega = 1`
• polo nullo (polo nell'origine) → retta con pendenza -20 dB/decade passante per `omega = 1`

Il diagramma asintotico completo si ottiene sommando il contributo dei vari termini (vedi figura 24 dell'esempio 5).

Il contributo dei vari termini è il seguente:

• guadagno μ → 0° se positivo (figura 19b), -180° se negativo
• zero non nullo → compreso tra 0° e 90° con zero negativo (figura 20b) altrimenti tra 0° e -90° con zero positivo; il diagramma è simile a quello visto nel caso dei filtri RC e passa per ±45° per `omega_z = |z_i|`
• polo non nullo → compreso tra 0° e -90° con polo negativo (figura 21b) altrimenti tra 0° e 90° con polo positivo; il diagramma è simile a quello visto nel caso dei filtri RC e passa per ±45° per `omega_p = |p_i|`
• zero nullo (zero nell'origine) → +90°
• polo nullo (polo nell'origine) → -90°

Anche per la fase il diagramma asintotico completo si ottiene sommando il contributo dei vari termini.

Esiste un metodo ancora più semplice per tracciare il diagramma del modulo senza disegnare e sommare i singoli contributi. Si procede così:

• si calcolano tutti i poli e gli zeri e si indica sull'asse la relativa pulsazione
• se non ci sono poli o zeri nell'origine traccia una retta orizzontale con ordinata pari al guadagno μ in decibel
• in presenza di poli o zeri nell'origine si traccia una retta con pendenza -20⋅g dB/decade con ordinata pari al guadagno μ in decibel per `omega = 1`
• procedendo da sinistra verso destra, per ogni zero che si incontra si introduce una pendenza di +20 dB/decade e per ogni polo di -20 dB/decade

• esempi 5, 6 e 7
• problemi svolti 8 (polo triplo), 9 (passa alto), 10 (Thevenin)
• problemi da svolgere 21, 22
• scheda di laboratorio 15A2 - diagrammi di Bode con Multisim
• starter Kit per Multisim (il tracciamento dei diagrammi di Bode)

E' possibile realizzare un filtro passa-basso o passa-alto del primo ordine utilizzando un'induttanza al posto del condensatore. I circuiti sono quelli di figura 27 e le relative fdt valgono:

• passa-basso `G(s)=1/(1+sL/R)`
• passa-alto `G(s)=(sL/R)/(1+sL/R)`

I diagrammi di Bode sono analoghi a quelli già visti per i filtri RC ma con una frequenza di taglio che vale:

`f_t=1/(2 pi L/R)=R/(2 pi L)`

Premessa: l'argomento viene trattato solo in maniera qualitativa (lo studio completo di questi filtri è laborioso dal punto di vista matematico e prevede la presenza di poli e zeri complessi coniugati).

Il circuito risonante serie di figura 28 è percorso da una corrente:

`I=bar V/bar Z=bar V/(R + j(omega L -1/(omega C)))`

che assume il valore massimo (V/R) quando le due reattanze si annullano tra loro. Questo avviene in corrispondenza della pulsazione di risonanza:

`omega_r=1/sqrt(LC)`

a cui corrisponde la frequenza:

`f_r=1/(2 pi sqrt(LC))`

La figura 29 mostra l'andamento del modulo e della fase della corrente in funzione della frequenza per due diversi valori del coefficiente di qualità o di merito¹⁴⁾ definito come rapporto tra una delle due reattanze e la resistenza:

`Q=(omega_r L)/R=1/(omega_rRC)`

Osserviamo che l'effetto della risonanza - il picco di corrente - è accentuato per valori elavati di Q, cioè per piccoli valori di R.

Il circuito può essere interpretato come un filtro passa-banda dove la tensione è il segnale di ingresso e la corrente quello di uscita; infatti al di fuori di un determinato range di frequenze la corrente risulta notevolmente attenuata. In questo tipo di filtri definamo:

• frequenza di taglio inferiore f_tL e frequenza di taglio superiore f_tH le due frequenze a cui corrisponde un'attenuazione di 3 dB
• banda passante l'intervallo B = f_tH- f_tL compreso tra le due frequenze, che può essere anche calcolata come B = f_r/Q

Nella figura 30 lo stesso circuito è interpretato come quadripolo con la tensione ai capi di R come segnale di uscita. In questo caso la fdt vale:

`G(s)=(V_o(s))/(V_i(s))=(sRC)/(s^2LC+sRC+1)`

La figura 31 mostra i diagrammi di Bode corrispondenti per due valori di Q

Osserviamo che:

• si tratta di un filtro del secondo ordine
• alla pulsazione di risonanza il modulo della riposta in frequenza vale 0 dB e la fase 0°
• la banda passante diminuisce all'aumentare di Q

La figura 32 mostra il circuito risonante parallelo. In questo caso è la tensione ad essere esaltata alla pulsazione di risonanza, calcolata come per il circuito risonante serie. In questo caso il parallelo delle due reattanze assume valore infinito e la tensione assume il valore massimo RI.

Nel circuito risonante parallelo il coefficiente di merito è definito in maniera inversa rispetto a quello serie:

`Q=R/(omega_r L)=omega_r RC`

La figura 33 mostra la risposta in frequenza, in modulo e fase, per due valori di Q. Anche in questo caso all'aumentare di Q aumenta la selettività¹⁵⁾ del filtro, cioè si riduce la banda passante (sempre calcolabile come B = f_r/Q).

La rete di Wien di figura 34 è un filtro RC passa-banda formato dall'unione di un filtro passa-basso (R₁ e C₁) uno passa-alto (R₂ e C₂), caratterizzati dalle rispettive frequenze di taglio:

`f_tL=1/(2* pi * R_2 C_2) quad , quad f_tH=1/(2* pi * R_1 C_1)`

Se le frequenze di taglio dei due filtri sono distanti almeno una decade e R₂ è almeno dieci volte più grande di R₁ possiamo approssimare il circuito con lo schema di figura 35a per f<f_tL e quello di figura 35b per f>f_tH. Sotto queste ipotesi il modulo della risposta in frequenza è quello rappresentato in figura 36.

In questo tipo di filtri è interessante valutare la pulsazione di centro banda a cui corrisponde il massimo del modulo della G(jω) e che può essere calcolata - anche quando non sono valide le ipotesi fatte sopra - con:

`omega_0 = 1/sqrt(R_1 R_2 C_1 C_2)`

Il valore massimo del modulo vale invece:

` |bar G (j omega_0)| = (R_2 C_2)/(R_1 C_2 + R_2 C_1 + R_2 C_2)`

Il filtro appena realizzato è detto a banda larga. Volendo realizzare un filtro a banda stretta si pongono R₁ = R₂ e C₁ = C₂; la pulsazione e il modulo di centro banda diventano:

`omega_0 = 1/(RC) quad , |bar G (j omega_0)| = 1/3`

Osservando i diagrammi di bode di figura 37 si nota il diverso comportamento del filtro a banda larga e a banda stretta.

Il filtro a doppio T (o rete di Scott) di figura 38 è un filtro elimina-banda molto selettivo. Si dimostra che, se il parametro b relativo ai due componenti trasversali vale 1/2, il guadagno alla frequenza di centro banda vale zero. In altre parole si ha un'attenuazione totale in corrispondenza della frequenza:

`f_0 = 1/(2 pi RC)`

Il modulo della risposta in frequenza di figura 39 conferma quanto detto.

Un sistema sottposto a un'eccitazione di durata limitataè detto:

• asintoticamente stabile se ha una risposta di durata limitata
• semplicemente stabile se la risposta è di ampiezza finita e persiste nel tempo
• instabile nei restanti casi

Salvo rare eccezioni il comportamento desiderato è quello stabile (nella pratica un sistema stabile è un sistema asintoticamente stabile).

E' possibile stabilire se un circuito è stabile o meno dalla posizione dei poli della sua fdt con il seguente criterio: se tutti i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale negativa il sistema è stabile. In figura 40 sono mostrati tre casi: un sistema instabile (polo a parte reale positiva), uno semplicemente stabile (parte reale nulla) e uno stabile (poli a parte reale negativa).

I circuiti visti finora sono intrinsecamente stabili perché realizzati con soli componenti passivi; nel capitolo seguente la presenza di componenti attivi richiederà una valutazione della stabilità del sistema.

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