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Linea 1: Linea 1:
 ====== I componenti e le reti a regime sinusoidale ====== ====== I componenti e le reti a regime sinusoidale ======
- 
-**NIENTE APPUNTI PER QUESTO CAPITOLO (NON HO TEMPO PER FARLI). SEGUIRE IL LIBRO! ** 
  
 Concetti fondamentali:​ Concetti fondamentali:​
-  * sinusoide (vedi anche [[sezione_1c#​il_segnale_sinusoidale]] e [[https://​leonardocanducci.org/​wiki/​ee4/​prerequisiti#​il_regime_sinusoidale|appunti di quarta (ripasso terza)]]+  * sinusoide (vedi anche [[sezione_1c#​il_segnale_sinusoidale|paragrafo della sezione 1C]] e [[https://​leonardocanducci.org/​wiki/​ee4/​prerequisiti#​il_regime_sinusoidale|appunti di quarta (ripasso terza)]]
   * da matematica:   * da matematica:
     * funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, arcotangente     * funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, arcotangente
-    * numeri complessi e operazioni con i numeri complessi +    * numeri complessi e operazioni con i numeri complessi, significato della moltiplicazione per j (rotazione 90°) 
-    * operazioni con i vettori +    * operazioni con i vettori ​(graficamente addizione e sottrazione,​ analiticamente per prodotto rapporto) 
-  * metodo simbolico: ​da sinusoide a vettore a numero complesso ​(per facilitare ​il calcolo+ 
-  * legge di Ohm dei tre componenti passivi in alternata ​sua rappresentazione col metodo simbolico +===== Il regime sinusoidale ===== 
-  * impedenza+ 
 +Nei circuiti in alternata tensioni e correnti sono sinusoidi con la stessa frequenza. Per studiare questi circuiti è necessario: 
 +  * conoscere le sinusoidi 
 +  * applicare il metodo simbolico 
 +  * conoscere il concetto di impedenza 
 + 
 +In particolare,​ sostituendo ai componenti passivi delle impedenze e svolgendo i calcoli con il metodo simbolico è possibile utilizzare tutte le leggi e i metodi validi per la continua. 
 + 
 +==== Sinusoide ==== 
 + 
 +Una tensione sinusoidale cambia nel tempo con la legge: 
 + 
 +`v(t)=V_max sen(omega t + varphi)` 
 + 
 +Dove: 
 + 
 +  * V<​sub>​max</​sub>​ è il valore massimo, legato al valore efficace (valore equivalente in continua) dalla formula `V = V_max/​sqrt(2)` 
 +  * ω è la pulsazione, legata alla frequenza f dalla relazione `omega=2 pi f` 
 +  * φ è la fase, legata al ritardo o anticipo rispetto alla sinusoide ​che passa per l'​origine dalla relazione `t_text(r/a)= varphi/​omega` 
 + 
 +Vedi anche [[sezione_1c#​il_segnale_sinusoidale|paragrafo della sezione 1C]]. 
 + 
 +==== Metodo simbolico ==== 
 + 
 +Lo studio dei circuiti in alternata è agevolato se si rappresenta ogni corrente e ogni tensione con un vettore ​di ampiezza pari al valore efficace e angolo pari alla fase (la frequenza non è interessante perché uguale per tutte le grandezze). A sua volta i vettori possono essere rappresentati con dei numeri complessi:​ 
 + 
 +`v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + varphi) to bar V = V _varphi = V cos varphi + j V sen varphi` 
 + 
 +La trasformazione delle sinusoidi in vettori o numeri complessi - grandezze costanti caratterizzate da due soli valori - facilita molto i calcoli. Alla fine del procedimento si esegue una anti-trasformazione per ritornare alle sinusoidi:​ 
 + 
 +`bar V = a+jb to {(V = sqrt (a^2+b^2)),​(varphi=text(arctg) b/a +- 180°):} to bar V = V _varphi to v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + varphi)` 
 + 
 + 
 +===== Componenti passivi in regime sinusoidale ===== 
 + 
 +Consideriamo la tensione ai capi del componente e la corrente che scorre sul componente e ricaviamo la relazione tra queste due grandezze dalle rispettive leggi di Ohm. L'​espressione di v e i come sinusoidi((omettiamo di specificare nella formula che v e i sono funzioni del tempo perché è già sottinteso scrivendole minuscole)) è: 
 + 
 +`v=sqrt(2)Vsen(omegat + varphi_v)` 
 + 
 +`i=sqrt(2)Isen(omegat + varphi_i)` 
 + 
 +In regime sinusoidale la pulsazione (quindi la frequenza e il periodo) è uguale ​per tutte le grandezze, quindi si tratta di trovare ​il legame tra i rispettivi valori efficaci e tra le fasi. Definiamo anche la grandezza **sfasamento** come l'​angolo tra la fase della tensione e quello della corrente. Analiticamente:​ 
 + 
 +`varphi = varphi_v - varphi_i` 
 + 
 +Questo indica il ritardo che c'è tra tensione e corrente: 
 +  * uno sfasamento positivo indica che la tensione è in anticipo 
 +  * uno sfasamento negativo che la tensione è in ritardo (la corrente in anticipo
 +  * uno sfasamento pari a zero indica che le due grandezze sono in fase (hanno la stessa fase) 
 + 
 +Ricaveremo le relazioni tra tensione e corrente considerando le rispettive sinusoidi poi vedremo che le stesse relazioni possono essere espresse in maniera molto più semplice utilizzando il metodo simbolico. 
 + 
 +==== Resistore ==== 
 + 
 +Vale la legge di Ohm 
 + 
 +`v=Ri` 
 + 
 +La relazione è lineare attraverso il parametro R. Se sostituiamo le sinusoidi nella legge di Ohm otteniamo:​ 
 + 
 +`v=Ri=Rsqrt(2)Isen(omegat + varphi_i)` 
 + 
 +mettendo in evidenza la relazione tra i valori efficaci e tra le fasi: 
 + 
 +`{(V=RI), (varphi_v=varphi_i):​}` 
 + 
 +Quindi le due grandezze sono in fase (sfasamento zero) e la relazione tra i valori efficaci corrisponde a quella che vale nei circuiti in continua. Possiamo esprimere queste due relazioni con una sola espressione usando il metodo simbolico scrivendo:​ 
 + 
 +`bar V = R bar I` 
 + 
 +dove compaiono i vettori (o numeri complessi) che rappresentano le due sinusoidi. Questa relazione, oltre ad essere una sola, è più semplice e riguarda grandezze costanti. La figura 8 del testo mostra un diagramma vettoriale con le due grandezze (allineate perché lo sfasamento è zero) e un grafico con le due sinusoidi((il fatto che abbiano fase zero è solo per semplificare il disegno, in generale la fase può avere un valore qualunque)). 
 + 
 + 
 +==== Condensatore ==== 
 + 
 +Procediamo come per il resistore. Sostituendo le sinusoidi nella legge di Ohm otteniamo((dalla matematica sappiamo che la derivata di una sinusoide è una sinusoide con stessa frequenza, in anticipo di 90° e con ampiezza moltiplicata per la pulsazione)):​ 
 + 
 +`i = C (dv)/(dt)= omega C sqrt(2)Vsen(omegat + varphi_v + 90°)` 
 + 
 +mettendo in evidenza la relazione tra i valori efficaci e tra le fasi: 
 + 
 +`{(V= 1/(omega C) I), (varphi_v=varphi_i - 90°):}` 
 + 
 +Quindi la tensione è in ritardo di 90° (sfasamento -90°) rispetto alla corrente e la relazione tra i valori efficaci dipende dalla capacità C ma** anche dalla pulsazione** (si veda [[https://​www.desmos.com/​calculator/​iusguod1oq|questo grafico interattivo]] per osservare le due sinusoidi). Questa caratteristica del condensatore è particolarmente importante e viene sfruttata in tante applicazioni:​ il comportamento del condensatore dipende dalla frequenza! Possiamo esprimere queste due relazioni con una sola espressione usando il metodo simbolico scrivendo:​ 
 + 
 +`bar V = -j 1/(omega C) bar I` 
 + 
 +dove -j indica una rotazione di 90° in senso orario (negativo) che aggiunge un ritardo alla tensione rispetto alla corrente. 
 + 
 +Se definiamo **reattanza capacitiva**((NB non è una sinusoide, è un operatore vettoriale!)) la grandezza:​ 
 + 
 +`bar (X_C)=-j1/​(omega C)= {:​X_C:​}_(-90°) [Omega]` 
 + 
 +possiamo riscrivere la legge di Ohm per il condensatore quando si usa il metodo simbolico così: 
 + 
 +`bar V = bar(X_C) bar I` 
 + 
 +che somiglia a quella della resistenza ma con la reattanza capacitiva al posto della resistenza((l'​unità di misura è l'Ohm perché sono Volt fratto Ampère)). La figura 9 del testo mostra un diagramma vettoriale con le due grandezze sfasate di -90° (corrente in anticipo) e un grafico con le due sinusoidi. 
 +==== Induttore ==== 
 + 
 +Sostituendo le sinusoidi nella legge di Ohm dell'​induttore otteniamo:​ 
 + 
 +`v = L (di)/(dt)= omega L sqrt(2)Isen(omegat + varphi_i + 90°)` 
 + 
 +mettendo in evidenza la relazione tra i valori efficaci e tra le fasi: 
 + 
 +`{(V= omega L I), (varphi_v=varphi_i + 90°):}` 
 + 
 +Quindi la tensione è in anticipo di 90° rispetto alla corrente (sfasamento 90°) e come per il condensatore la relazione tra i valori efficaci non dipende solo dall'​induttanza L ma** anche dalla pulsazione** (si veda [[https://​www.desmos.com/​calculator/​7zsho1ilu5|questo grafico interattivo]] con le due sinusoidi). Anche in questo caso si potrà sfruttare il fatto che il comportamento dell'​induttanza dipende dalla frequenza. Possiamo esprimere le due relazioni viste sopra con una sola espressione usando il metodo simbolico scrivendo:​ 
 + 
 +`bar V = j omega L bar I` 
 + 
 +dove j indica una rotazione di 90° in senso antiorario che giustifica l'​anticipo della tensione rispetto alla corrente. 
 + 
 +Se definiamo **reattanza induttiva** la grandezza:​ 
 + 
 +`bar (X_L)=j omega L= {:​X_L:​}_(90°) [Omega]` 
 + 
 +possiamo riscrivere la legge di Ohm per l'​induttanza quando si usa il metodo simbolico così: 
 + 
 +`bar V = bar(X_L) bar I` 
 + 
 +che somiglia a quella di resistenza e capacità ma con la reattanza induttiva (in Ohm). La figura 10 del testo mostra un diagramma vettoriale con le due grandezze sfasate di 90° (tensione in anticipo) e un grafico con le due sinusoidi. 
 + 
 +==== Impedenza ==== 
 + 
 +E' possibile accorpare i tre componenti passivi ​R, L e C in un unico termine detto impedenza, così definito: 
 + 
 +`bar Z=R+j(omega L - 1/(omega C))=R+jX=Z_varphi [Omega]` 
 + 
 +dove Z è l'​impedenza,​ misurata in Ohm, espressa come numero complesso o come vettore. Il termine X è la reattanza totale somma della reattanza induttiva:​ 
 + 
 +`bar X_L =j omega L = jX_L= {:​X_L:​}_(90°)[Omega]` 
 + 
 +di quella capacitiva:​ 
 + 
 +`bar X_C =-j 1/(omega C) = -jX_C= {:​X_C:​}_(-90°)[Omega]` 
 + 
 +Al posto di tre componenti e tre leggi di Ohm si utilizzerà un unico componente, l'​impedenza,​ e una sola legge di Ohm: 
 + 
 +`bar V= bar Z  cdot bar I` 
 + 
 +Si osserva che: 
 +  * l'​angolo φ è compreso tra -90° e 90° e coincide con lo __sfasamento__ tra tensione e corrente 
 +  * __condensatori e induttori si comportano diversamente alle varie frequenze__ perché le rispettive reattanze dipendono da ω 
 + 
 +===== Analisi di circuiti in regime sinusoidale ===== 
 + 
 +Le leggi e i principi utilizzati per i circuiti in continua (serie-parallelo,​ principi di Kirchhoff, sovrapposizione degli effetti, ecc.) valgono anche in regime sinusoidale ma per utilizzare gli stessi procedimenti bisogna prima: 
 +  * trasformare tensioni e correnti sinusoidali in vettori o numeri complessi con il metodo simbolico 
 +  * calcolare le impedenze dei vari rami da utilizzare al posto di resistenze, capacità e induttanze 
 +A quel punto si può procedere applicando regole e metodi dei circuiti in continua tenendo presente però che il calcolo sarà più laborioso perché tutte le grandezze saranno vettori/​numeri complessi e che al posto della resistenza comparirà l'impedenza. L'​ultima fase del problema sarà sempre una trasformazione inversa per esprimere tensioni e correnti come sinusoidi a partire dai vettori corrispondenti. 
 + 
 +==== Esempio: analisi di un circuito in AC ==== 
 + 
 +Dato il seguente circuito: 
 + 
 +{{::​alternata1.png|circuito in regime sinusoidale}} 
 + 
 +dove la tensione del generatore((NB il verso della tensione si inverte ogni mezzo periodi quindi indicare il morsetto positivo serve solo a correlare i versi delle varie grandezze in un determinato instate)) vale `v_1 = sqrt(2)12sen(314t - 30°)` e i componenti hanno i seguenti valori: R1 = 1,8 kΩ, R2 = 3,3 kΩ, R3 = 2,2 kΩ, C2 = 330 nF e L3 = 6,8 H. Calcolare le correnti nei tre rami. 
 + 
 +Trasformiamo la tensione in vettore/​numero complesso per utilizzare il metodo simbolico((per facilitare il calcolo nelle trasformazioni tra vettori e numeri complessi useremo sempre la funzione della calcolatrice che converte le coordinate polari in cartesiane)):​ 
 + 
 +`bar V_1 = 12_(-30°)=10,​4-j6 V` 
 + 
 +Calcoliamo le impedenze dei tre rami: 
 + 
 +`bar Z_1 = R_1 = 1,​8kOmega` 
 + 
 +`bar Z_2 = R_2 -j1/(omega C_2)=3,3 -j1/(314 cdot 330 cdot 10^(-6))=3,​3-j9.6 kOmega` 
 + 
 +`bar Z_3 = R_3 +j omega L_3=2,2 +j314 cdot 6.8=2,​2+j2,​1 kOmega` 
 + 
 +Il circuito può essere ridisegnato così: 
 + 
 +{{::​alternatametsimbolico.png|circuito per metodo simbolico}} 
 + 
 +A questo punto si procede come per i circuiti in continua: dal momento che è presente un solo generatore si userà il metodo della resistenza (impedenza in questo caso!) equivalente per calcolare la corrente nel ramo del generatore, poi si risalirà alle altre due correnti. 
 + 
 +Calcoliamo l'​impedenza equivalente di `bar Z_2` e `bar Z_3` in parallelo((useremo la modalità complex della calcolatrice scientifica per fare i calcoli con numeri complessi e vettori)):​ 
 + 
 +`bar Z_(23)= (bar Z_2 bar Z_3)/ (bar Z_2 + bar Z_3)=[(3,​3-j9,​6)(2,​2+j2,​1)]/​(3,​3-j9,​6 + 2,​2+j2,​1)=3+j1,​5 kOmega` 
 + 
 +Dopo aver ridisegnato il circuito (non lo farò in questo esempio) calcoliamo l'​impedenza equivalente:​ 
 + 
 +`bar Z_(eq)=bar Z_1 + bar Z_(23)=1,​8+3+j1,​5=4,​8+j1,​5 kOmega` 
 + 
 +Applicando la legge di Ohm si può calcolare la corrente che circola sul ramo del generatore:​ 
 + 
 +`bar I_1 = bar V_1 / bar Z_(eq)= (10,​4-j6)/​[(4,​8+j1,​5)cdot 10^3]=1.6-j1.7=2.3_(-46°) mA` 
 + 
 +Le altre correnti si possono trovare con procedimenti diversi. Scegliamo di usare la sola legge di Ohm calcolando prima la tensione ai capi di Z<​sub>​23</​sub>:​ 
 + 
 +`bar V_(Z_23) = bar Z_(23) bar I_1=(3+j1,​5)cdot 10^3 (1.6-j1.7) cdot 10^(-3)=7.9+j7.3 V` 
 + 
 +Allora le ultime due correnti si trovano con: 
 + 
 +`bar I_2=bar V_(Z_23)/​bar Z_2= (7.9+j7.3)/​[(3,​3-j9.6)cdot10^3]=-0.4+j1=1_(113°) mA` 
 + 
 +`bar I_3=bar V_(Z_23)/​bar Z_3= (7.9+j7.3)/​[(2,​2+j2,​1)cdot10^3]=3.5-j0.1=3.5_(-1°) mA` 
 + 
 +Applicando la trasformazione inversa del metodo simbolico risaliamo alle tre sinusoidi delle correnti: 
 + 
 +`i_1 = sqrt(2) cdot 2,3 sen (314t -46°)` ​
  
-Vedi anche [[https://​docs.google.com/​spreadsheets/​d/​1JLpR-JEc08nYtvOgnvjseiTKMea40R91a5gCSqMzGiQ/​edit?​usp=sharing|questo foglio Google]] con il grafico di una sinusoide.+`i_2 sqrt(2) cdot 1 sen (314t +113°)`
  
 +`i_3 = sqrt(2) cdot 3,5 sen (314t -1°)`
sezione_8a.1557396245.txt.gz · Ultima modifica: 2020/07/03 17:58 (modifica esterna)