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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== I componenti e le reti a regime sinusoidale ====== | ====== I componenti e le reti a regime sinusoidale ====== | ||
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- | **NIENTE APPUNTI PER QUESTO CAPITOLO (NON HO TEMPO PER FARLI). SEGUIRE IL LIBRO! ** | ||
Concetti fondamentali: | Concetti fondamentali: | ||
- | * sinusoide (vedi anche [[sezione_1c# | + | * sinusoide (vedi anche [[sezione_1c# |
* da matematica: | * da matematica: | ||
* funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, arcotangente | * funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente, arcotangente | ||
- | * numeri complessi e operazioni con i numeri complessi | + | * numeri complessi e operazioni con i numeri complessi, significato della moltiplicazione per j (rotazione 90°) |
- | * operazioni con i vettori | + | * operazioni con i vettori |
- | * metodo simbolico: | + | |
- | * legge di Ohm dei tre componenti passivi in alternata | + | ===== Il regime sinusoidale ===== |
- | * impedenza | + | |
+ | Nei circuiti in alternata tensioni e correnti sono sinusoidi con la stessa frequenza. Per studiare questi circuiti è necessario: | ||
+ | * conoscere le sinusoidi | ||
+ | * applicare il metodo simbolico | ||
+ | * conoscere il concetto di impedenza | ||
+ | |||
+ | In particolare, | ||
+ | |||
+ | ==== Sinusoide ==== | ||
+ | |||
+ | Una tensione sinusoidale cambia nel tempo con la legge: | ||
+ | |||
+ | `v(t)=V_max sen(omega t + varphi)` | ||
+ | |||
+ | Dove: | ||
+ | |||
+ | * V< | ||
+ | * ω è la pulsazione, legata alla frequenza f dalla relazione `omega=2 pi f` | ||
+ | * φ è la fase, legata al ritardo o anticipo rispetto alla sinusoide | ||
+ | |||
+ | Vedi anche [[sezione_1c# | ||
+ | |||
+ | ==== Metodo simbolico ==== | ||
+ | |||
+ | Lo studio dei circuiti in alternata è agevolato se si rappresenta ogni corrente e ogni tensione con un vettore | ||
+ | |||
+ | `v(t)= sqrt(2)V sen(omega t + varphi) to bar V = V _varphi = V cos varphi + j V sen varphi` | ||
+ | |||
+ | La trasformazione delle sinusoidi in vettori o numeri complessi - grandezze costanti caratterizzate da due soli valori - facilita molto i calcoli. Alla fine del procedimento si esegue una anti-trasformazione per ritornare alle sinusoidi: | ||
+ | |||
+ | `bar V = a+jb to {(V = sqrt (a^2+b^2)), | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Componenti passivi in regime sinusoidale ===== | ||
+ | |||
+ | Consideriamo la tensione ai capi del componente e la corrente che scorre sul componente e ricaviamo la relazione tra queste due grandezze dalle rispettive leggi di Ohm. L' | ||
+ | |||
+ | `v=sqrt(2)Vsen(omegat + varphi_v)` | ||
+ | |||
+ | `i=sqrt(2)Isen(omegat + varphi_i)` | ||
+ | |||
+ | In regime sinusoidale la pulsazione (quindi la frequenza e il periodo) è uguale | ||
+ | |||
+ | `varphi = varphi_v - varphi_i` | ||
+ | |||
+ | Questo indica il ritardo che c'è tra tensione e corrente: | ||
+ | * uno sfasamento positivo indica che la tensione è in anticipo | ||
+ | * uno sfasamento negativo che la tensione è in ritardo (la corrente in anticipo) | ||
+ | * uno sfasamento pari a zero indica che le due grandezze sono in fase (hanno la stessa fase) | ||
+ | |||
+ | Ricaveremo le relazioni tra tensione e corrente considerando le rispettive sinusoidi poi vedremo che le stesse relazioni possono essere espresse in maniera molto più semplice utilizzando il metodo simbolico. | ||
+ | |||
+ | ==== Resistore ==== | ||
+ | |||
+ | Vale la legge di Ohm | ||
+ | |||
+ | `v=Ri` | ||
+ | |||
+ | La relazione è lineare attraverso il parametro R. Se sostituiamo le sinusoidi nella legge di Ohm otteniamo: | ||
+ | |||
+ | `v=Ri=Rsqrt(2)Isen(omegat + varphi_i)` | ||
+ | |||
+ | mettendo in evidenza la relazione tra i valori efficaci e tra le fasi: | ||
+ | |||
+ | `{(V=RI), (varphi_v=varphi_i): | ||
+ | |||
+ | Quindi le due grandezze sono in fase (sfasamento zero) e la relazione tra i valori efficaci corrisponde a quella che vale nei circuiti in continua. Possiamo esprimere queste due relazioni con una sola espressione usando il metodo simbolico scrivendo: | ||
+ | |||
+ | `bar V = R bar I` | ||
+ | |||
+ | dove compaiono i vettori (o numeri complessi) che rappresentano le due sinusoidi. Questa relazione, oltre ad essere una sola, è più semplice e riguarda grandezze costanti. La figura 8 del testo mostra un diagramma vettoriale con le due grandezze (allineate perché lo sfasamento è zero) e un grafico con le due sinusoidi((il fatto che abbiano fase zero è solo per semplificare il disegno, in generale la fase può avere un valore qualunque)). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Condensatore ==== | ||
+ | |||
+ | Procediamo come per il resistore. Sostituendo le sinusoidi nella legge di Ohm otteniamo((dalla matematica sappiamo che la derivata di una sinusoide è una sinusoide con stessa frequenza, in anticipo di 90° e con ampiezza moltiplicata per la pulsazione)): | ||
+ | |||
+ | `i = C (dv)/(dt)= omega C sqrt(2)Vsen(omegat + varphi_v + 90°)` | ||
+ | |||
+ | mettendo in evidenza la relazione tra i valori efficaci e tra le fasi: | ||
+ | |||
+ | `{(V= 1/(omega C) I), (varphi_v=varphi_i - 90°):}` | ||
+ | |||
+ | Quindi la tensione è in ritardo di 90° (sfasamento -90°) rispetto alla corrente e la relazione tra i valori efficaci dipende dalla capacità C ma** anche dalla pulsazione** (si veda [[https:// | ||
+ | |||
+ | `bar V = -j 1/(omega C) bar I` | ||
+ | |||
+ | dove -j indica una rotazione di 90° in senso orario (negativo) che aggiunge un ritardo alla tensione rispetto alla corrente. | ||
+ | |||
+ | Se definiamo **reattanza capacitiva**((NB non è una sinusoide, è un operatore vettoriale!)) la grandezza: | ||
+ | |||
+ | `bar (X_C)=-j1/ | ||
+ | |||
+ | possiamo riscrivere la legge di Ohm per il condensatore quando si usa il metodo simbolico così: | ||
+ | |||
+ | `bar V = bar(X_C) bar I` | ||
+ | |||
+ | che somiglia a quella della resistenza ma con la reattanza capacitiva al posto della resistenza((l' | ||
+ | ==== Induttore ==== | ||
+ | |||
+ | Sostituendo le sinusoidi nella legge di Ohm dell' | ||
+ | |||
+ | `v = L (di)/(dt)= omega L sqrt(2)Isen(omegat + varphi_i + 90°)` | ||
+ | |||
+ | mettendo in evidenza la relazione tra i valori efficaci e tra le fasi: | ||
+ | |||
+ | `{(V= omega L I), (varphi_v=varphi_i + 90°):}` | ||
+ | |||
+ | Quindi la tensione è in anticipo di 90° rispetto alla corrente (sfasamento 90°) e come per il condensatore la relazione tra i valori efficaci non dipende solo dall' | ||
+ | |||
+ | `bar V = j omega L bar I` | ||
+ | |||
+ | dove j indica una rotazione di 90° in senso antiorario che giustifica l' | ||
+ | |||
+ | Se definiamo **reattanza induttiva** la grandezza: | ||
+ | |||
+ | `bar (X_L)=j omega L= {: | ||
+ | |||
+ | possiamo riscrivere la legge di Ohm per l' | ||
+ | |||
+ | `bar V = bar(X_L) bar I` | ||
+ | |||
+ | che somiglia a quella di resistenza e capacità ma con la reattanza induttiva (in Ohm). La figura 10 del testo mostra un diagramma vettoriale con le due grandezze sfasate di 90° (tensione in anticipo) e un grafico con le due sinusoidi. | ||
+ | |||
+ | ==== Impedenza ==== | ||
+ | |||
+ | E' possibile accorpare i tre componenti passivi | ||
+ | |||
+ | `bar Z=R+j(omega L - 1/(omega C))=R+jX=Z_varphi [Omega]` | ||
+ | |||
+ | dove Z è l' | ||
+ | |||
+ | `bar X_L =j omega L = jX_L= {: | ||
+ | |||
+ | e di quella capacitiva: | ||
+ | |||
+ | `bar X_C =-j 1/(omega C) = -jX_C= {: | ||
+ | |||
+ | Al posto di tre componenti e tre leggi di Ohm si utilizzerà un unico componente, l' | ||
+ | |||
+ | `bar V= bar Z cdot bar I` | ||
+ | |||
+ | Si osserva che: | ||
+ | * l' | ||
+ | * __condensatori e induttori si comportano diversamente alle varie frequenze__ perché le rispettive reattanze dipendono da ω | ||
+ | |||
+ | ===== Analisi di circuiti in regime sinusoidale ===== | ||
+ | |||
+ | Le leggi e i principi utilizzati per i circuiti in continua (serie-parallelo, | ||
+ | * trasformare tensioni e correnti sinusoidali in vettori o numeri complessi con il metodo simbolico | ||
+ | * calcolare le impedenze dei vari rami da utilizzare al posto di resistenze, capacità e induttanze | ||
+ | A quel punto si può procedere applicando regole e metodi dei circuiti in continua tenendo presente però che il calcolo sarà più laborioso perché tutte le grandezze saranno vettori/ | ||
+ | |||
+ | ==== Esempio: analisi di un circuito in AC ==== | ||
+ | |||
+ | Dato il seguente circuito: | ||
+ | |||
+ | {{:: | ||
+ | |||
+ | dove la tensione del generatore((NB il verso della tensione si inverte ogni mezzo periodi quindi indicare il morsetto positivo serve solo a correlare i versi delle varie grandezze in un determinato instate)) vale `v_1 = sqrt(2)12sen(314t - 30°)` e i componenti hanno i seguenti valori: R1 = 1,8 kΩ, R2 = 3,3 kΩ, R3 = 2,2 kΩ, C2 = 330 nF e L3 = 6,8 H. Calcolare le correnti nei tre rami. | ||
+ | |||
+ | Trasformiamo la tensione in vettore/ | ||
+ | |||
+ | `bar V_1 = 12_(-30°)=10, | ||
+ | |||
+ | Calcoliamo le impedenze dei tre rami: | ||
+ | |||
+ | `bar Z_1 = R_1 = 1, | ||
+ | |||
+ | `bar Z_2 = R_2 -j1/(omega C_2)=3,3 -j1/(314 cdot 330 cdot 10^(-6))=3, | ||
+ | |||
+ | `bar Z_3 = R_3 +j omega L_3=2,2 +j314 cdot 6.8=2, | ||
+ | |||
+ | Il circuito può essere ridisegnato così: | ||
+ | |||
+ | {{:: | ||
+ | |||
+ | A questo punto si procede come per i circuiti in continua: dal momento che è presente un solo generatore si userà il metodo della resistenza (impedenza in questo caso!) equivalente per calcolare la corrente nel ramo del generatore, poi si risalirà alle altre due correnti. | ||
+ | |||
+ | Calcoliamo l' | ||
+ | |||
+ | `bar Z_(23)= (bar Z_2 bar Z_3)/ (bar Z_2 + bar Z_3)=[(3, | ||
+ | |||
+ | Dopo aver ridisegnato il circuito (non lo farò in questo esempio) calcoliamo l' | ||
+ | |||
+ | `bar Z_(eq)=bar Z_1 + bar Z_(23)=1, | ||
+ | |||
+ | Applicando la legge di Ohm si può calcolare la corrente che circola sul ramo del generatore: | ||
+ | |||
+ | `bar I_1 = bar V_1 / bar Z_(eq)= (10, | ||
+ | |||
+ | Le altre correnti si possono trovare con procedimenti diversi. Scegliamo di usare la sola legge di Ohm calcolando prima la tensione ai capi di Z< | ||
+ | |||
+ | `bar V_(Z_23) = bar Z_(23) bar I_1=(3+j1, | ||
+ | |||
+ | Allora le ultime due correnti si trovano con: | ||
+ | |||
+ | `bar I_2=bar V_(Z_23)/ | ||
+ | |||
+ | `bar I_3=bar V_(Z_23)/ | ||
+ | |||
+ | Applicando la trasformazione inversa del metodo simbolico risaliamo alle tre sinusoidi delle correnti: | ||
+ | |||
+ | `i_1 = sqrt(2) cdot 2,4 sen (314t -47°)` | ||
+ | |||
+ | `i_2 = sqrt(2) cdot 0.8 sen (314t +51°)` | ||
+ | `i_3 = sqrt(2) cdot 2,6 sen (314t -24°)` |
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