1D - Metodi di risoluzione delle reti elettriche

Il capitolo illustra i principali metodi per di risoluzione per i circuiti. Ci soffermeremo solo su:

• metodo di Kirchhoff
• sovrapposizione degli effetti
• teorema di Thevenin (e di Norton)
• teorema di Millman

Il primo principio di Kirchhoff afferma che: in un nodo la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti¹⁾. Analiticamente si può scrivere:

`Sigma I_(\i\n) = Sigma I_(out)`

Il secondo principio di Kirchhoff afferma che: in una maglia la somma algebrica delle tensioni vale zero²⁾. Analiticamente si può scrivere:

`Sigma +- V = 0`

Con somma algebrica si intende una somma dove alcuni termini hanno segno positivo e altri hanno segno negativo. Per attribuire il segno alle tensioni:

• si sceglie - a piacere - un verso di percorrenza della maglia³⁾
• si sceglie - a piacere - un punto di partenza
• si percorre tutta la maglia considerando positive le tensioni dove di incontra prima il segno + e negative quelle dove si incontra il segno -

Un'altra legge molto utile, simile al secondo principio di Kirchhoff, è quella che permette di calcolare la tensione tra due punti di un circuito: per calcolare la tensione tra due punti di un circuito si sceglie un percorso a piacere tra i due punti e si sommano algebricamente le tensioni che si incontrano lungo il percorso (il segno si attribuisce come per il secondo principio di Kirchhoff).

Nelle ultime due regole le tensioni sono facilmente esprimibile nel caso di generatori di tensione e resistenze (applicando la legge di Ohm) ma non se sono presenti generatori di corrente, dove la tensione non dipende dal generatore e non è legata al valore della corrente.

Il metodo di Kirchhoff permette di calcolare tutte le correnti di un circuito impostando un sistema con tante equazioni quante sono le correnti incognite. Si procede così:

• se nel circuito sono presenti n nodi si scrivono n - 1 equazioni utilizzando il primo principio di Kirchhoff
• si scrivono le equazioni restanti utilizzando il secondo principio di Kirchhoff

Risolvendo il sistema - ad esempio col metodo della sostituzione⁴⁾ - si ottengono le correnti (con le quali è possibile calcolare tutte le tensioni).

• scheda di laboratorio 1D.1: la risoluzione delle reti elettriche tramite PC
• esempio 1
• problema svolto 1

Ce lo risparmiamo.

Anche questo.

Il principio della sovrapposizione degli effetti si applica ai sistemi lineari e afferma che gli effetti dovuti a più cause che agiscono contemporaneamente si possono calcolare sommando gli effetti dovuti ad ognuna delle cause prese singolarmente.

Questo principio è alla base di un metodo per calcolare le correnti (effetti) nei circuiti con più di un generatore (cause) che afferma: le correnti che circolano per effetto di più generatori possono essere calcolate come somma algebrica delle correnti che circolerebbero considerando un solo generatore alla volta.

Il metodo consiste nel risolvere tanti circuiti semplici⁵⁾ al posto di uno complesso; per una corretta applicazione bisogna:

• completare il circuito di partenza indicando le correnti con un verso di tentativo
• risolvere tanti circuiti quanti sono i generatori
• in ognuno di questi circuiti i generatori da escludere sono sostituiti da un cortocircuito se di tensione e eliminati lasciando il ramo aperto se di corrente
• risolti tutti i circuiti per ognuno dei rami si sommano le correnti calcolate considerandole positive se concordi con il verso di tentativo e negative in caso contrario

• problemi svolti 4, 5, 6, 7

Il principio (o teorema) di Thevenin afferma che è possibile sostituire una parte di circuito delimitata da due punti con un unico generatore reale di tensione equivalente. Questo teorema è molto utile quando si vuole calcolare la corrente in un ramo o la tensione tra due punti del circuito: basterà semplificare il resto del circuito riducendolo ad un generatore reale per poi calcolare la grandezza richiesta.

Per ottenere i due parametri (tensione a vuoto e resistenza interna) del generatore equivalente secondo Thevenin si procede così:

• si isola la parte di circuito che si vuole semplificare (si disegna solo la parte di circuito compresa tra i due punti che verrà sostituita dal generatore equivalente)
• si calcola la resistenza interna R_T del generatore come resistenza equivalente vista tra i due punti dopo aver eliminato i generatori (si procede come per la sovrapposizione degli effetti, sostituendo con un cortocircuito i generatori di tensione e eliminando i rami con i generatori di corrente)
• si calcola la tensione a vuoto E_T come tensione tra i due punti della parte di circuito appena isolata

L'applicazione del teorema di Thevenin non è sempre semplice: il calcolo della resistenza interna non pone particolari problemi ma quello della tensione a vuoto E_T potrebbe essere laborioso perché per farlo bisogna comunque risolvere un circuito, anche se più semplice rispetto a quello di partenza.

• scheda di laboratorio 1D.2: Usiamo Multisim per comprendere il principio di Thevenin
• esempio 6
• problema svolto 13 (ponte di Wheatstone)
• problemi di svolgere 18 e 19

Il principio (o teorema) di Norton è duale rispetto a quello di Thevenin e afferma che è possibile sostituire una parte di circuito delimitata da due punti con un unico generatore reale di corrente equivalente (era di tensione nel teorema di Thevenin). Il campo di applicazione, i vantaggi e gli svantaggi sono gli stessi di Thevenin ma in questo caso occorre calcolare una corrente di cortocircuito I_\C\C invece che una tensione a vuoto⁶⁾.

• esempio 7

NB Nel testo questo metodo non viene trattato ma quando può essere applicato risulta particolarmente utile.

Il teorema di Millman afferma che in un circuito con due soli nodi la tensione tra questi può essere calcolata in questo modo:

`V=(+-E_n/R_n +-I_n)/(sum 1/R_n)`

dove al numeratore si considerano tutti i rami con generatori di tensione e corrente e si attribuisce il segno in base al loro verso (per i generatori di tensione il segno è positivo se il + del generatore è rivolto verso il nodo considerato positivo, per i generatori di corrente il segno è positivo se la corrente entra nel nodo considerato positivo) e R_n è la somma delle resistenze di ogni ramo privo di generatori di corrente.

Una volta applicata la formula è facile trovare tutte le correnti del circuito.

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